Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [122] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

( = 1

Ляпунов показал, что доказанная теорема останется в силе, если а меньше наименьшего характеристического числа системы (87.2).

§ 88, Другая группа критериев.

Мы рассмотрим сейчас три других критерия устойчивости по первому приближению, отличных от критерия Ляпунова и играющих важную роль в теории критических случаев. Во всех этих трех критериях предполагается, что функции {t, .....х„) в дифференциальных уравнениях возмущенного движения

- = 1X1+ ... +л„Х„+ф,(/, Xj.....Х„) (5=1, 2, П)

(88.1)

удовлетворяют в области

>0, х,</У, (88.2)

неравенствам

1фЛ X,.....х„) </l{xi + ...--x„}, (88.3)

где А - некоторая постоянная.

Первый из указанных критериев выражается следующей теоремой О-

) См. Малкин И. Г., Die .Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen. Сб. трудов Казанского авиац. ин-та, № 2, 1934.

и, следовательно, на основании (87.15) и (87.16)

\Уз(Т)\<г,

что противоречит условию, что хотя бы одна из величин y.s(r) равна а.

Таким образом, невозмущенное движение по отношению к переменным у устойчиво. Но тогда оно на основании (87.9) будет асимптотически устойчиво по отношению к переменным х, что и доказывает теорему.

Примечание 1. Из устойчивости невозмущенного движения по отношению у и равенств (87.9) вытекает, что характеристичное число функций Xs(t) не менее величины у, которая является любым положительным числом, меньшим наименьшего из характеристичных чисел системы первого приближения.

Примечание 2. Допустим, что система (87.2) не является правильной, так что

п t



PsiXi+ ...+р,,х„ (88.4)

существует функция Ляпунова V {t, х, .... д;„), удовлетворяющая всем условиям теоремы II об асимптотической устойчивости, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций ф, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная А достаточно мала.

Доказательство. Мы воспользуемся для доказательства результатами § 75. Согласно последним (теорема 3) при выполнении условий теоремы существует определенно-положительная квадратичная форма V*{t, Xi.....х„) с ограниченными коэффициентами,

производная которой, составленная в силу уравнений (88.4), равна наперед заданной определенно-отрицательной квадратичной форме. Мы можем, в частности, положить:

s=l s=l

Составим теперь производную от К по в силу полной системы уравнений (88.1). Будем иметь:

dV V 9 [ V dV

s = l s = l

Эта производная, в силу того что коэффициенты формы V ограничены, будет определенно-отрицательной при любом выборе функций ф, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная А достаточно мала. Следовательно, форма V является функцией Ляпунова для полной системы (88.1), удовлетворяющей всем условиям теоремы II об асимптотической устойчивости. Поэтому невозмущенное движение асимптотически устойчиво, что и доказывает теорему.

Пусть x,j{t, Iq) (j=l, 2.....п) - фундаментальная система решений уравнений (88.4), определяемая начальными условиями

Xss Со- о) = 1 - (го, to) = О {5фЛ (S, j=l, 2.....п).

Тогда имеет место также следующий критерий устойчивости по первому приближению, установленный К. П. Персидским i).

Теорема 1. Если для уравнений первого приближения



допускает только ограниченные решения, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций (ps удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная А достаточно мала.

Как уже указывалось выше, этот критерий полностью эквивалентен критериям, даваемым теоремами 1 и 2.

Действительно, общее решение уравнений (88.6) имеет вид

п t п

i = i о /=1

где Cj - произвольные постоянные. Если выполняются условия теоремы 1, или, что то же самое, неравенства (88.5), то при любом />.0 будут справедливы оценки

x,<B{\c,\~ir ... +\Cn\) + riBM

= B(ic.l+ ... +cJ)-f-(l-.-«0.

где M - верхний предел функций Д(0 что и доказывает ограниченность функций х. Наоборот, если уравнения (88.6) при любых ограниченных и непрерывных Д(0 допускают только ограниченные

) См. работу, цитированную на стр. 368.

Теорема 2. Если для уравнений первого приближения (88.4) при любых tQ и >о выполняются неравенства

1х,у(0 д<Ве-°(-«. (88.5)

где В и а-положительные постоянные, не зависящие от (д, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций ф, удовлетворяющих в области (88.2) неравенствам (88.3), если только постоянная А достаточно мала

Согласно результатам § 75 (теорема 1 и 2) этот критерий, который может быть доказан и непосредственно, полностью эквивалентен критерию, даваемому теоремой 1, и поэтому в отдельном доказательстве не нуждается.

Отметим, наконец, еще третий критерий, который также эквивалентен первым двум. Этот критерий установлен О. Перроном >) и выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Если уравнения первого приближения (88.4), обладают тем свойством, что при любых непрерывных и ограниченных при tO функциях fg система неоднородных уравнений

= jr7„a:i+... + p,„x„ + /,(0 (88.6)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [122] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0072