) Малкин И. Г., Об устойчивости по первому приближению. Сб. научных трудов Казанск. авиац. ин-та, № 3, 1935. 2) См. примечание в конце книги (стр. 528). ) См. работу автора, цитированную в сноске )•

решения, то можно показать), что выполняются условия теоремы 1, а следовательно, также и теоремы 2.

Доказанными теоремами выделяется определенный класс линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Эти уравнения обладают тем свойством, что для них одновременно выполняются условия всех трех теорем, причем если выполняются условия хотя бы одной из этих теорем, то выполняются условия и двух других теорем. Из (88.5) вытекает, что все характеристичные числа этих уравнений положительны.

Частным случаем такого рода уравнений являются уравнения с постоянными коэффициентами, если вещественные части всех корней его характеристического уравнения отрицательны, и уравнения с периодическими коэффициентами, если их характеристические показатели также имеют отрицательные вещественные части 2).

§ 89. Связь с критерием Ляпунова. Обобщенный критерий.

В предыдущем параграфе установлены три эквивалентных между собой критерия устойчивости по первому приближению. Естественно, возникает вопрос, будут ли указанные критерии эквивалентны критерию Ляпунова или они дают более широкие условия устойчивости по первому приближению, или, напротив, более узкие условия. Нижеприводимые примеры показывают, что ни одно из этих предположений неверно. Может случиться, что для системы первого приближения выполняются условия Ляпунова и не выполняются условия теорем предыдущего параграфа, и наоборот, существуют системы, для которых выполняются условия указанных теорем и не выполняются условия Ляпунова. Чтобы это показать, рассмотрим сначала систему 3)

= - (2 - sin 11п {t -t- 1)]) X, = pxi, ЧГ - 1 ~ x.

Эта система имеет положительные характеристичные числа, но она не является правильной, так как выражение

1 J pdt = -2 +jlsm\ii(t-\) -cos \n(t+ l)]-f

I 1 + sin In (+1) -cos In (4-1)

lim ~

pdt= lim 4 [~t-4пcos yi-4г. У t sin У t-irin] = - f.

to система правильна и обладает положительным характеристичным числом, равным единице. Следовательно, выполняются условия критерия Ляпунова. Вместе с тем легко показать, что для этого уравнения не выполняются неравенства (88.5) и, следовательно, критерии предыдущего параграфа. Действительно, в рассматриваемом случае

X (t, g = ехр [- (/ - g - 4я (cos -/7-cos ут -

- 4n(]/lsin/7- -/sin/Q].

Полагая ~ {2kz\, -- и = (2йл -f- л) > t, где k - целое число, будем иметь:

Xs it, g = exp [- (4ЙЛ 4-1 л] 4- 4л + 4л (2йл > е\

С неограниченным возрастанием k правая часть этого неравенства неограниченно возрастает и, следовательно, условия (88.5) не выполняются.

Приведем, наконец, еще один критерий устойчивости по первому приближению, указанный автором 2). Этот критерий утверждает, что невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво при любом

) П е р с и д с к и й К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанск. гос. ун-те, т. V111, 1936-1937.

2) М а л к и н И. Г., Об устойчивости движения по первому приближению. ДАН, т. XV111, № 3, 1938.

не стремится ни к какому пределу при / ->• эо, что является (см. § 79) необходимым и достаточным условием правильности такого рода

систем. Вместе с тем, производная от функции V =(х"-\-х",

составленная в силу этих уравнений, равная

= (2 - sin 1п ( 4- 1)1 х2 -- ХуХ - х\,

будет определенно-отрицательной, и следовательно, выполняются условия теоремы 1, а также и двух других теорем предыдущего параграфа.

Рассмотрим теперь систему), состоящую из одного уравнения = - {\-\-2пcos У t) X = рх.

Так как

выполняется какой-нибудь критерий устойчивости по первому приближению, так что для нелинейной системы, которая получится из (90.2) путем прибавления нелинейных членов, зависящих только

от Xi..... х„, будет иметь место асимптотическая устойчивость.

В дальнейшем мы будем предполагать, что для системы (90.2)

выборе функций ф(, Xi.....х„), удовлетворяющих в области (88.2)

условию (87.4), если вместо неравенств (88.5), фигурирующих в теореме 2 предыдущего параграфа, будут выполняться при всех (о>0 к ty to неравенства

где В и а - не зависящие от положительные постоянные, а - также положительная постоянная, удовлетворяющая неравенству

Р < (2т - 1) а. Г. ТЕОРИЯ КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ.

§ 90. Постановка задачи. Основные определения.

В предыдущем разделе установлен ряд теорем, дающих достаточные условия устойчивости по первому приближению. Эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми, и поэтому при невыполнении их еще не следует делать заключения, что для решения задачи устойчивости необходимо исследовать члены более высоких порядков в уравнениях возмущенного движения. Однако можно указать такие уравнения, для которых исследование членов более высоких порядков является безусловно необходимым. Такими будут, очевидно, уравнения следующего вида:

=ЧпУ1 + • • • Уг- • • •> У к i- • • •> х„),

at = PsiXi + • • • + PsnXn + гхУг -f .. . Ч- r,„y, + J (90 1)

+ X{t, У1.....y„, Xi, x„)

(i= 1, 2.....k; s=l, 2.....n).

Здесь Yi и A"-аналитические функции переменных у.....у,

X].....х„, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих разложений, а также коэффициенты qij, rj и pj являются непрерывными и ограниченными функциями времени. При этом коэффициенты p,j таковы, что для линейной системы

= PslXl + . • . -t- PsnXn (o.2)