выполняются критерии § 88. Это будет необходимо для справедливости излагаемых ниже результатов.

Коэффициенты д»;,-, напротив, таковы, что задача устойчивости для уравнений вида

4т = ЯпУ1+ + ЯшУп Н- ii Ух.....У к). (90.3)

где - нелинейные добавки, зависящие только от у,.....у, не

решается первым приближением. Таким будет, например, слу1ай, когда коэффициенты qj постоянны, а характеристическое уравнение системы (90.3) имеет корни с вещественными частями, равными нулю, и не имеет корней с положительными вещественными частями.

Все случаи, для которых задача устойчивости не решается членами первого порядка, мы будем называть критическими. В настоящем разделе мы устанавливаем несколько основных предложений общего характера о решении задачи устойчивости для критических случаев и применяем затем эти предложения к некоторым крити ческим случаям для установившихся и периодических движений.

Отбросим в системе (й-(-А)-го порядка (90.1) последние п урав-{1ений, а в первых k уравнениях отбросим все члены, зависящие от Хр .... л-д, и рассмотрим полученную таким образом систему А-го порядка

- = ?пУ1+ ••• +?,аУа + ;(. У1. Уа. о.....0) .904)

(1=1. 2.....k).

Эту систему мы будем в дальнейшем называть «укороченной».

Допустим, что задачу устойчивости для «укороченной» системы удалось разрешить. Возникает вопрос: при каких условиях этим самым решается задача устойчивости и для полной системы (90.1)? В главе IV, где были рассмотрены два простейших критических случая для установившихся движений, было показано, что в этих простых случаях ответ на задачу устойчивости для полной системы совпадает с ответом на задачу устойчивости для «укороченной» системы, если последняя решается конечным числом членов и если выполняются следующие условия: 1) все коэффициенты rj равны

нулю; 2) разложения функций А(, у,.....У*. 0.....0) начинаются

членами достаточно высокого порядка.

Это дало возможность свести решение задачи устойчивости полной системы к решению задачи для «укороченной» системы (состоящей в рассмотренных случаях из одного или двух уравнений) путем преобразования полной системы к такому виду, для которого условия 1) и 2) выполняются. Эти результаты удалось, однако, получить путем действительного решения задачи устойчивости для «укороченной» системы и притом вполне определенным методом-построением

) М а л к и н И. Г., Некоторые вопросы теории устойчивости движения в смысле Ляпунова. Сб. трудов Казанск. авиац. ин-та, № 7, 1937; Каменков Г. В., Об устойчивости движения. Сб. трудов Казаиск. авиац. ии-та, № 9, 1939.

2) Малкин И. Г., Некоторые основные теоремы теории устойчивости движения в критических случаях. ПММ, т. VI, вып. 6, 1942.

функций Ляпунова, причем это удалось сделать лишь тольку потому, что ДЛЯ «укороченной» системы удалось построить функции Ляпунова очень простого вида, а именно - целые рациональные. Использованные методы дали возможность надеяться, что аналогичные результаты удастся получить и в других критических случаях, если для «укороченной» системы удастся построить такие же простые функции Ляпунова. Таким путем действительно удалось исследовать ) некоторые критические случаи, не рассмотренные Ляпуновым. Однако такой метод является очень неудобным и сложным, так как построение функций Ляпунова представляет иногда непреодолимые трудности, даже в тех случаях, когда заранее известно решение задачи устойчивости для «укороченной» системы. Более того, нет вообще уверенности, что такие простые функции Ляпунова действительно существуют. Поэтому, естественно, возникает вопрос: всегда ли вообще задача устойчивости для полной системы при выполнении условий 1)и 2) решается «укороченной» системой? .Можно показать 2), что ответ на поставленный вопрос получается всегда утвердительный, если задача устойчивости для «укороченной» системы решается конечным числом членов. Это предложение доказывается в следующем параграфе. В § 92 показывается, что полная система может быть всегда преобразована к такому виду, для которого условия 1) и 2) выполняются. Результатами этих двух параграфов задача устойчивости для системы (п-{-к)-то порядка с k критическими переменными всегда приводится к исследованию системы k-то порядка, если задача решается конечным числом членов.

Последнее понятие требует уточнения. Рассмотрим произвольную систему какого-нибудь г-го порядка

=zr\t, Z,.....z,)-{- ... .....z,) +

+ Фг(. 1.....2.) (90.5)

(i=l, 2, г),

определенную в области

>0, 2;< . (90.6)

Здесь Z/ - формы 1-то порядка переменных Zj, ..., z, коэффициенты которых являются непрерывными и ограниченными функциями времени, а обозначают совокупность всех членов порядка выше N. Мы примем следующие определения.

(91.1)

Определение 1. Невозмущенное движение z-, -.. .- = z = <<i называется устойчивым вне зависимости от вида членов порядка выше, чем N, если для всякого положительного е, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число 11(8, А), зависящее только от г и А, что для всех решений уравнений (90.5), начальные значения г? которых в начальный момент времени t = 0 выбраны согласно условиям

<т1(е. А),

выполняются при всех >0 неравенства

при всяком выборе функций (О .....z), удовлетворяющих

в области (90.6) условиям

ФД. 1.....r)<{kll+ ••• +г}".

где N-некоторая постоянная.

Определение 2. Невозмущенное движение z- ... = z - 0 называется неустойчивым вне зависимости от членов порядка выше, чем N, если при тех же условиях относительно функций ф существует положительное число е(А), зависящее только от А, что внутри любой сколь угодно малой -ц-окрестности точки Zi== ... =z = 0 существует, по крайней мере, одна система величин щ(А, ц), . . ., аДЛ, "п), зависящих только от А и ц, что хотя бы. одна из величин \zi\ для решения уравнений (90.5), определенного начальными условиями

4 = а,,

достигает в некоторый момент времени значения е.

§ 91. Первая основная теорема о критических случаях.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения (n-\-k)-TO порядка следующего вида:

-hYiif, Уг.....У к Хи

= Psii + • • • + PsnXn -hXii, ур. . ., у, X,.....х„)

(г=:1, 2.....k; s=l, 2.....п).

Здесь Yi и А" - ряды по степеням переменных у,, -у, Xi.....х„, сходящиеся в области

t>0. х,<Я, у,!<Я (91.2)