Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

-=Y\{t, у,.....у,) (91.5)

(г= 1, 2, .. ., k)

и докажем следующую теорему.

Теорема. Допустим, что невозмущенное движение yi=. . .= = у=:0 для «укороченной» системы устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво вне зависимости от членов порядка выше, чем N. Тогда, если разложения функций

X{t, У1.....>ft. 0.....0) начинаются членами порядка не ниже

Л/ + 1, то и невозмущённое движение у; = . . . = у = Xj = . . . =- = х„ = О для полной системы (91.1) соответственно устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво ).

Доказательство. Г. Для упрощения доказательства 2) мы сделаем относительно уравнений (91.1) некоторые дополнительные ограничения. Мы предположим, прежде всего, что все коэффициенты Гц

) См. примечание в конце книги (стр. 529).

) Это упрощение сделано В. Н. Постниковым (Постников В. Н., К теории устойчивости движения в критических случаях. Диссертация, 1942). Он же исправил и неточность в формулировке теоремы, данной в работе автора (см. сноску ) на стр. 381), где вместо условия, что разложения функций Xs(t, Ух, .... У/г, О, 0) начинаются членами не ниже (Л--1)-го порядка, указывалось, что это разложение должно начинаться членами не ниже Л-го порядка.

и начинающиеся членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих рядов, а также коэффициенты q, Гц и p,j суть ограниченные и непрерывные функции времени. Коэффициенты pj таковы, что для системы линейных уравнений (90.2) выполняются критерии устойчивости по первому приближению, установленные в § 88. Мы можем, следовательно, предположить, что существует определенно-положительная квадратичная форма V{t, Xj.....xJ переменных Xj, . . ., х„,

коэффициенты которой являются ограниченными функциями времени, для которой

+S iPsix, +... + л„х„) 1=- 5; xi (91.3)

s=l s=l

Для самой же формы V в силу ее знакоопределенности мы можем писать

V{t, xi, x„)>fl2 2 xl (91.4)

где a - вещественная постоянная.

Рассмотрим далее «укороченную» систему

=qnyi+ ••• +qikyk + Y\{t, у,.....у,, о,..., 0) =



равны нулю. Это ограничение не существенно, и его легко добиться простым преобразованием переменных. Второе ограничение заключается в следующем.

Так как коэффициенты ограничены, то мы можем писать:

<*(у?+ ... +у). (91.6)

где b - некоторая вещественная постоянная. Мы будем предполагать, что эта постоянная настолько мала, что квадратичная форма

(91.7)

определенно-отрицательна. Как мы увидим ниже, во всех тех случаях, для которых мы будем применять теорему, это ограничение будет выполняться.

При этом ограничении, мы можем писать неравенство

дУ dt

2 Уг(9пУ1 + ..-+9гйУй) \

( = 1

K-axl (91.8)

где a - вещественная постоянная, справедливое при любых значениях У/ и х. Действительно, в силу (91.3) и (91.6) левая часть этого неравенства не превосходит формы (91.7), которая, по условию, определенно-отрицательна.

Сделаем теперь преобразование переменных )

х.-гч,- г = Уу\+ ...+у.

(91.9)

Тогда первая группа уравнений (91.1) примет вид

yit. У1.....У*) + -Х(. У1.....Уи. Ii.....и (91.10)

(/=-1, 2.....к).

где функции в силу сделанного предположения, что все коэффициенты Гц равны нулю, удовлетворяют тождествам

Wt(t О.....О, li.....„) = 0 (/=1,2.....к). (91.11)



1 = 1

= -Ull+ ••• + Psnln)-X,(t, у,.....у„ lir".....Ur"")

или, принимая во внимание, что разложения функций X{t, у.....

у,г 0.....0) начинаются членами не ниже {N-\-\)-to порядка,

S Уг(9<1У1+ ••• -\-Я1ьУь -=Psilx+ -Psnln-Nls----Ь

+ sit, У1.....Ук. li.....In). (91.12)

где функции 3 также удовлетворяют тождествам

2,(,0.....0,1.....и = 0 (5=1.2.....п). (91.13)

2°. Пусть 8 < -произвольное положительное число. Обозначим через I наибольшую из величин , а через 1{г) - некоторое отличное от нуля положительное число, меньшее точного нижнего предела формы V при условии Я>>-е. В силу (91.4) такое число /(е) существует. Итак,

Vit.li.....Е„)>/(е)>0 при Я>>е. (91.14)

Рассмотрим теперь множество всевозможных значений переменных ll.....„, связанных соотношением

V(t. и.....U = (e). (91.15)

Для этого множества выполняется, очевидно, неравенство <е. Кроме того, так как коэффициенты формы V ограничены, то будет также выполняться условие

S ls>\>) при V(t, El.....Е„) = /(е). (91.16)

где Я,2(е) - достаточно положительное число.

Установив это, вычислим производную от функции V(t, ll.....„)

по времени в силу уравнений (91.12) при условии (91.15). Будем иметь:

Л- г Л7? S>«(«/iyi+ ... -ЧМк)

+ 2117(11 + • • • -t- Ps,kn - Is г=1

Для второй группы уравнений (91.1) имеем:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0109