Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [126] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Но на основании (91.8) и (91.16)

(f),=,<-« + !il7(-.....-.....4

U=i v=i

Поэтому, принимая во внимание тождества (91.13), мы видим, что всегда найдется такое положительное число А(е) (зависящее только от е). что при всех значениях величин у;, удовлетворяющих неравенствам У(<й(е), выражение (91.17) будет отрицательным. Мы будем предполагать, что во всяком случае й(е)<е. Таким образом,

()к=г< "Р ЬгКСеХе. (91.18)

Построенные в этом пункте области и поверхности, их ограничивающие:

= Я, = е, ЕЙ = Я(е), у = й(е), V(t, I,.....„) = /(е).

= тах(,..... У-. тах(у,..... jyj),

для наглядности дальнейших рассуждений полезно изобразить схематически так, как это сделано на рис. 20. Здесь вертикальная ось изображает fe-мерное многообразие точек, где Ху- ... =х„ = 0, У1 - любые, а горизонтальная ось - л-мерное многообразие, где у,=: ... =у = 0, х-любые.

Подчеркнем следующее важное обстоятельство. Поверхность

V(t, li.....„) = /(е) охватывает многообразие = ... г=х„ = 0,

которое, таким образом, оказывается внутри полости, ограниченной

этой поверхностью. Поверхности V(t, i.....1л) = (е), у = й(е)

в совокупности ограничивают некоторые замкнутые полости. Вследствие неравенства (91.18) интегральные кривые х(0. У((0 системы (91.1) пересекают при этом поверхность V(t, j.....„) = /(е)

внутрь, т. е. в сторону убывания функции V. При этом число й(е)

будем считать столь малым, что область yh (е), V(t, i.....„) /(е)

лежит в области х < е.

3°. Допустим сначала, что для «укороченной» системы невозмущенное движение устойчиво. Покажем, что тогда и для полной системы невозмущенное движение будет также устойчиво. Заменим с этой целью в уравнениях (91.10) беличины произвольными функциями времени, удовлетворяющими при всех / О неравенствам

,<Я (5=1, 2.....л). (91.19)

Тогда получим систему уравнений

-=>ГЧ1.....у*) + >Г+ ...

... 4.КР4.К,(/, у,. у,), (91.20)



где Yf - формы /-Г0 порядка переменных у,.....у, представляющие собой совокупности членов 1-то порядки в разложениях функций Kf)(/, У;.....у) и

K.==Kfv+i)+Kf.v+2) ... rir.t, yj, .... у,. ,.....,).

В силу (91.11), очевидно, имеем:

\Yt{(, yv У*)1<{У11+ •• (91.21)

где А - некоторая постоянная, зависящая, очевидно, только от структуры уравнений (91.10) и не зависящая от того или иного частного


Рис. 20.

выбора функций 1. Согласно условию об устойчивости для «укороченной» системы вне зависимости от членов порядка выше N существует положительная постоянная 6] (А (е). А), такая, что все решения уравнений (91.20), удовлетворяющие в начальный момент / = 0 условиям

у«<6,(А(е), А) (91.22)

будут при всех / > О удовлетворять условиям

Уг(0<й(е). (91.23)

При этом постоянная 6i будет зависеть только от А(е) и, следовательно, в конечном счете только от е, т. е. 6i = 6j(e),



Допустим теперь, что в уравнениях (91.10) величины 1 заменены функциями времени, удовлетворяющими неравенствам (91.19) не при всех значениях t, а только при значениях /, не превосходящих некоторого числа Т. То1да все решения уравнений (91.20), удовлетворяющие начальным условиям (91.22), будут удовлетворять неравенствам (91.23), по крайней мере, при всех значениях /, лежащих на отрезке [О, Т].

В самом деле, пусть 1,~/з() будут указанные функции. Заменим в уравнениях (91.10) величины функциями ls - 4>s(t) определенными следующим образом:

Ws(i) = fsii) при 0</<Г.

ФДО = фДЛ == const при t>T.

Тогда уравнения (91.10) примут вид

= ут + .. . + Kf+ к* (/, у.....у,), (91.24)

причем

h.....Ук) = \{ Ух.....Ук) "РИ 0</<Г.

Так как функции ф(/) удовлетворяют условиям (91.19) при всех tO, то для всех решений уравнений (91.24), для которых справедливо (91.22), будет при всех / >0 выполняться (91.23). Но решения уравнений (91.24) на отрезке [О, Т] совпадают с решениями уравнений (91.20), и мы, следовательно, приходим к следующему выводу: если в уравнениях (91.10) заменить все величины произвольными функциями времени, удовлетворяющими на отрезке [О, Т] условию (91.19), то все решения полученной таким образом системы уравнений, удовлетворяющие начальным условиям (91.22), будут на отрезке [О, Т] удовлетворять неравенствам (91.23). Если условия (91.19) выполняются при всех tO, то и неравенства (91.23) будут выполняться при всех />-0.

Рассмотрим теперь произвольное решение (/)..... «(0

yi(0.....Ул(0 уравнений (91.10) и (91.12), для которого в начальный момент / = О выполняются условия

11\<Ц. \УЦ<Ц (5=1.2.....я; г=1. 2.....к). (91.25)

Мы будем при этом предполагать, что

Т1<6,(е) (91.26)

и что постоянная т) настолько мала, что выполняется неравенство

V{0. Щ.....11)<1{г). (91.27)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [126] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013