Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [127] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

>0 при t = T. (91.30)

Но во всем интервале (О, Т), несомненно, выполняется условие (91.19). Следовательно, на основании предыдущего во всем этом интервале будут выполняться неравенства (91.23), так как число т) выбрано согласно (91.26), а функции у/(/) будут, очевидно, одним из решений уравнений (91.20), которые получатся из (91.10), если в последних величины заменить рассматриваемыми сейчас функциями ls(t). Поэтому на основании (91.18) во всем интервале (О, Т) бздет выполняться неравенство

что противоречит (91.30).

Таким образом, приходим к заключению, что неравенства (91.28) будут выполняться при всех / > 0. Но тогда при всех / > О будут выполняться и неравенства (91.23), а следовательно, и подавно неравенства (91.29), так как А(е)<е. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво по отношению к переменным i.....„, у;.....у.

Таким образом установлен следующий факт. Траектория x/(t), у lit) системы (91.1), начавшаяся в любой точке N ixit, УЬо)) в области I У/(о) I-< Л 11,1-СЧ не покидает область, ограниченную поверхностями

уА(е), Vit. ll.....1„) = Цг)

(см. рис. 20). При этом величины (/) при всех ty-t не превосходят Н и, следовательно, использование в рассуждениях преобразования (91.9) является законным. Итак, пока доказана лишь условная устойчивость решения = О, у = О относительно возмущений Xs (io) у/ (о) из области V (/q. Ii.....(s)- Поэтому для

Покажем, что все функции (/) и у (О будут при всех / >0 удовлетворять неравенствам

,(/)<е, (91.28)

у,(/)<е. (91.29)

Рассмотрим сначала функции Для этих функций условия (91.28), выполняясь при =0, будут выполняться при /, достаточно малом. Пусть Т-первый момент времени, для которого =max{i, ... • ••> л11=- Тогда на основании (91.14) будем иметь:

У[Т, ЫТ).....1АТ)]>1(г).

Отсюда на основании (91.27) заключаем, что в интервале (О, Т) должен существовать такой момент времени / = Т, что одновременно будут выполняться условия



завершения доказательства первого утверждения теоремы следует еще показать, что из такой условной устойчивости в данном случае вытекает устойчивость ;1вижения х = 0, у,-= О при любых малых возмущениях х(/о). yiiio) из полной окрестноститочки х==0, у; = 0.

Сделаем это. Вернемся снова к записи уравнений возмущенного движения в форме (91.1). Рассмотрим поверхности

V{t, х„ .... х„) = 5.

Это - цилиндрические поверхности в пространстве {х, y], охватывающие многообразие Xi = ... = х„ = О (см. рис. 20). Рассматриваемые поверхности перемещаются со временем, но для любого 5>0 можно указать два числа \ii(S) и M-2(5)(i-i < Рз) таких,, что при всех / поверхность V (t, Xj.....х„) = 5 лежит между поверхностями x = i,i(5), x-\i2(S) (x = max(xi..... х„), причем

lim = lim M-i = О при 5 ->- 0. Это обстоятельство является следствием того, что квадратичная форма V определенно положигельна и допускает бесконечно малый высший предел.

Теперь можно выбрать достаточно малое положительное число 5(e), которое удовлетворяет следующим трем условиям:

1) число м-з 15(e)] < е;

2) при 5-<5(е) поверхности V{t, Ху.....х„)=5 пересекаются

с поверхностью 2 1 = (£) (а следовательно, и с поверхностью Vit, „ .... „)~/(е)) при

\yi\<My. (а)

3) на поверхностях V{t, Xi.....х„) = 5 при 5- 5(e) и при

условии

7"?Т-ТТ

выполняется неравейство

<».

где --производная функции V в силу уравнений (91 Л).

Действительно, первое и второе условия удовлетворяются при

малом 5(e) потому, что при 5->0 поверхности V{t, Xi.....х„) = 5

равномерно стягиваются к многообразию Xi = ... = х„ =г 0. Третьему условию можно удовлетворить по свойствам функций Xit, у ... у, Xj.....х„) в уравйениях (91.1). В самом деле, разложе-

) На это существенное обстоятельство обратил внимание Н. П. Еругин. См. его рецензию о книге И. Г. Малкина «Теория усто11Чивости движения» Э Вестни1<е ЛГУ № 5, 1953.



ние функции Xit, yi.....у, 0.....0) начинается членами порядка не ниже {N -\- 1), поэтому при условии (р) и при достаточно малых имеем

l,l<a(Xi+ ... + х„). (Y)

где постоянная а > О сколь угодно мала, если величины х достаточно малы. Из условия {у) обычными приемами выводится неравенство < О, на чем мы останавливаться не будем.

Итак, пусть выбрано число 5(e) > О, удовлетворяющее указанным условиям 1), 2) и 3). Выберем число т) > О так, чтобы помимо условий (91.26) и (91.27) это число еще удовлетворяло следующему требованию: область хт] должна лежать внутри поверхности

V{t, л*!, х„) = 5(е), т. е. должно быть V{t, .....х„)<5(е)

при х<т).

Покажем, что при условиях х(го)-П> li(о)1Л выполняются неравенства х(0<е, Уг(0<е для всех ttg. В самом деле, выше уже показано, что указанные неравенства выполняются, если начальное возмущение лежит в области V(t, . . ., !„)<;/(е). Пусть теперь начальное возмущение этому условию не удовлетворяет. По выбору числа т) и по предыдущим построениям в таком случае заключаем, что точка x(q), у,-(q) (назовем ее Q) лежит в области, ограниченной поверхностями

Xi.....х„) = 5(е) (при К < 5(e)),

Vit. ll.....U = (e) (при V>l(e))

(см. рис. 20). Вследствие неравенства < О траектория х(),

у lit) при tytg может покинуть эту область лишь через поверхность V(t, ll.....„) = /(е). Следовательно, либо траектория x(t),

yi{t) все время остается в указанной области и тогда по построению ее все время х(0<е, y,(Ol<e (и, более того. х(г)-0, У;()-->0), либо, начиная с какого-то момента, траектория х(г), yi(t) попадает в область V{t, i, !„)<;/(е) и при этом обязательно при y;<6i(e). Но в таком случае уже по доказанному выше траектория х(г), у;(0 в дальнейшем все время остается в

области y-h(e), V(t, i.....!„)<;/(е), причем также выполняются

неравенства х(0< е, y,(0< е. Тем самым устанавливается устойчивость решения х=0, у; = 0 и завершается доказательство первого пункта теоремы.

4°. Допустим теперь, что для «укороченной» системы получается асимптотическая устойчивость. Покажем, что невозмущенное движение для полной системы будет также асимптотически устойчиво.

Рассмотрим с этой целью произвольное решение lit), у,-(О уравнений (91.10) и (91.12) с начальными значениями, удовлетворяющими



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [127] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018