Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [128] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dt ~~ dt АЛ dls

-Nls---

неравенствам

где число ц достаточно мало. На основании доказанного тривиальное решение li = ... = „ == У1 = • • • = = О устойчиво, и поэтому функции 1(0 будут во всяком случае удовлетворять неравенствам (91.19) при всех tO. Но тогда согласно условию все решения уравнений (91.20), которые получим, если в уравнениях (91.10) заменим все величины 1 функциями (0. будут удовлетворять условиям

lim у( = О,

если только начальные значения этих решений численно достаточно малы. Но одним из этих решений будут, очевидно, функции у, (t). Следовательно, если число ri выбрано достаточно малым, то все функции у((0 при неограниченном возрастании t будут стремиться к нулю. Покажем, что то же самое будет и для функции (/).

Рассмотрим произвольное сколь угодно малое положительное число / и покажем, что всегда найдется такой момент времени, начиная с которого будет все время выполняться неравенство

V[t. bit).....IniOXl. (91.31)

т. е. что

nmVlt, liit).....l„it)] = 0. (91.32)

/->оо

с этой целью заменим в уравнениях (91.12) величины у( функциями у, (О и найдем выражение полной производной по времени от формы Vit, li.....In) в силу полученных таким образом уравнений

2 Уг(0[?пУ1(0+..-+?«уИ0]

= Psili + • • • + Psnln - s---рщ--h

-+s[t. yi(0.....уЛО. 1.....U. (91.33)

одним из решений которых будут функции 1(0- Будем иметь; « /

dV dV . \\ dV J , ,

2у(0[9пУ1(0+ ... +?«уИО]

г (tj /Н-

+ S-S7 .....Mi), li. Inl



a22+2;--S,l, yi(0.....УЛО. ll. .... Ы-

dt - 1

С другой стороны, функции у sit) стремятся к нулю при t-co. Поэтому на основании (91.13) всегда найдется такой момент времени t = T, что будет выполняться условие

dVit,l....,ln) 0! yt.....,/ tT,

(91.35)

для всех решений уравнений (91.33) и, в частности, для , = (0. Отсюда следует, что если для какого-нибудь решения уравнений (91.33) будет выполняться неравенство (91.31) в какой-нибудь момент времени t = TyT, то это неравенство будет для него выполняться при всех t > Т. Допустим, что такого момента времени для решения (0 не существует, т. е. что при всех tyT будет

v\t, 1,(0.....1пт>1-

Так как при этом , (Ol-- то из

t + T

V{t, 1,(0.....1пП = У{Т, iiiT).....1ЛТ)] +

будем на основании (91.35) иметь:

VI. El (О.....lnit)\<V{T, i(T), .... iiT)-\-it-T).

Однако последнее неравенство не может выполняться при всех tyT, так как форма V положительна. Таким образом, приходим к заключению, что всегда наступит такой момент времени, начиная с которого будет выполняться неравенство (91.31). Это, однако, эквивалентно (91.32), откуда в силу (91.4) находим:

lim 1 = 0 (s= 1. 2.....п).

Рассмотрим совокупность значений переменных удовлетворяющих неравенствам

V{t El.....Е„)>/. \1А<Н. (91.34)

Для этой совокупности будет выполняться условие

где %?-некоторое положительное число. Поэтому на основании (91.8) находим, что при условии (91.34) будет выполняться также условие

dV , VI <?1



Следовательно, невозмушенное движение для полной системы асимптотически устойчиво относительно переменных 1 Ус-

Теперь, как и выше, для завершения доказательства достаточно показать, что невозмушенное движение х - О, == О асимптотически устойчиво не только относительно возмушений х,{(а), уДо) стесненных условиями 11 < Л- но и относительно любых достаточно малых начальных возмушений х (to), У1 (о)- Это доказательство, однако, в точности повторяет те рассуждения, которые были приведены выше при доказательстве первого пункта теоремы. Поэтому здесь на этом рассуждении останавливаться не будем.

5°. Допустим, наконец, что для «укороченной» системы имеет место неустойчивость, и покажем, что то же самое будет справедливо и для полной системы.

Рассмотрим снова систему (91.20), которая получается из системы (91.10) заменой величин произвольными функциями времени, удо-влетворяюшими при всех tO неравенствам (91.19). По условию найдется число е > О такое, что как бы мало ни было число т],

сушествует система величин pj Сп).....Р* ("П) Дя которых Ipjl-f],

и при этом для решения уравнений (91.20) с начальными условиями у = р. будет в некоторый момент времени t~T выполняться условие

у(Т) = тах(у,(Т)..... У ДГ) } = А (е), (91.36)

где А (е) - величина, фигурирующая в (91.18).

При этом величины р зависят тольчо от т] и не зависят от выбора функций 1, лишь бы они удовлетворяли неравенствам (91.19).

Рассмотрим теперь полную систему уравнений (91.1) и допустим, что вопреки утверждению невозмушенное движение устойчиво. Тогда существует такое число т], что для всех решений этих уравнений, для которых начальные значения удовлетворяют неравенствам

3?< И°!<> (91.37)

будут при всех > О выполняться неравенства

Уг</г(е)<е, \x,\<h{e)<e. (91.38)

Из всех этих решений выделим какое-нибудь одно у (t), х (t), для которого уО==р., х1 = а, где - некоторые постоянные, выбранные настолько малыми, чтобы для переменных g, определяемых преобразованием (91.9), в начальный момент времени выполнялось неравенство

V(0, 0, 0)</(е). (91.39)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [128] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0067