Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 [129] 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

(92.1)

-Yiit, у1.....yj, Xi.....x„),

at PsiXi + ... + PsnXn + r.iyi + . . . + r,„y„ -i-

+ X{t, У1.....y„, Xi.....x„)

(1=1, 2.....k; s=l. 2.....«),

где Vi и A"- ряды no степеням переменных yj, .... y,, Xj, .... x, начинающиеся членами не ниже второго порядка и сходящиеся в области (91.2). Коэффициенты этих разложений, а также коэффициенты Psj и гу являются непрерывными и ограниченными функциями t. При этом, как и в предыдущем параграфе, предполагается, что для системы линейных уравнений

= PsxX,+ ... -Ps„x„ (s=l, 2.....п) (92.2)

выполняются условия устойчивости по первому приближению, установленные в § 88.

Для возможности применения к уравнениям (92.1) теоремы предыдущего параграфа необходимо, очевидно, привести эти уравнения к такому виду, для которого разложения функций

Гз1У1+ • +-5*3* + yi- .... Уй. 0.....0)

Тогда из (91.18) вытекает, что при всех >0 переменные для рассматриваемого решения будут удовлетворять неравенству

V\t, El (О.....ЕЛОК.

из которого на основании (91.14) вытекает, что ,(0<е и> следовательно, при будут во всяком случае выполняться условия (91.19)

Будем теперь считать, что уравнения (91.20) получились из (91.10) заменой величин Е, функциями ЕСО. соответствующими рассматриваемому решению. Тогда решение этих уравнений с начальными условиями у° = Р,- даст как раз функции уДО- во всяком случае до тех пор, пока у,-(0 (к)- Но для этого решения выполнено условие (91.36), так как функции ЕСО удовлетворяют, по доказанному, (91.19). Это, однако, противоречит (91.38). Полученное противоречие и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.

Таким образом, теорема полностью доказана.

§ 92. Вторая основная теорема о критических случаях.

Рассмотрим теперь систему уравнений возмущенного движения вида



начинались бы членами достаточно высокого порядка. С этой целью положим:

Xs = ls-\-"s(i yv Ук) 2.....«), (92.3)

где Us-целые рациональные функции переменных у,, . . ., у, коэффициенты которых являются ограниченными функциями времени. Тогда уравнения (92.1) примут вид

-т- Ух.....У- 1х.....1п)=

= Yi(i. Ух.....у к + .....1л + «„).

Jk. - п л.л. л. п % dt

Psxlx- ••• +P.«E„ + S.(. Ух.....У к. 1х.....Ел).

(92.4)

у1.....yj. Ii + Ki.....

i = x

Yiit Ух.....У*. Ix + ux.....L + "„).

При этом имеем:

S.(. Ух.....Уа- 0.....0) = Р.1«1+ ••• +Л««л +

+ "51У1+ ••• -i-iskyk + Xsit, у,.....у,, м,.....и„) -

....."") (92.5)

Задача заключается, следовательно, в таком выборе функций

Us(t, yi.....Уй) чтобы разложения выражений (92.5) начинались

членами достаточно высокого порядка. Рассмотрим для этого систему уравнений с частными производными

--iii У1 •••• У*- «1.....

dUs I uus

( = 1

у,.....у„. и,.....и„) (96.6)

(s=l, 2.....«)

и попытаемся удовлетворить этим уравнениям формальными рядами вида

и, = и*;Ч У1y*) + «f(yi.....(92.7)



где mW - формы т-то порядка переменных у,.....у, с ограниченными коэффициентами. Подставляя эти ряды в (92.6), приравнивая члены первого порядка и учитывая, что разложения функций К,- начинаются членами не ниже второго порядка, найдем:

-Ж- - ."1 + • • • + Psn" + .У, + • • • + г,,У,. (92.8) Аналогично приравнивая члены т-го порядка, получим;

= ... + у.....у,) (92.9)

(/и = 2. 3. ...).

где t/,™ - некоторые формы т-го порядка переменных у,.....у,,

зависящие от тех и<у\ для которых У < т. Если все формы иЛ при J < т уже вычислены и вышли с ограниченными коэффициентами, то формы t " будут известными и будут также обладать ограниченными коэффициентами.

Уравнения (92.8) и (92.9) служат для последовательного определения форм mJ". Если мы вычислим все эти формы до какого-нибудь заданного порядка N включительно, то, положив в подстановке (92.3)

мы приведем уравнения (92.1) к виду (92.4), для которого разложение функций S(, У1. • • У/";. 0.....0) начинается членами не ниже

(AA-j-l)-ro порядка. Уравнения (92.4) будут, следовательно, иметь нужный вид.

Переходим к вопросу о вычислении форм mW. Полагая

2 л(«>••«*) (О уГ ... у? К+ ... +m, = m), будем, очевидно, иметь: Д™!.....

at I .. • г уsn"n ~

-J-C("i....."*)(0 (s.-=l, 2.....«). (92.10)

где C("i" будут известными функциями времени, если формы

и(Ч, uf.....м™-* уже вычислены. Эти коэффициенты будут притом

ограниченными функциями времени, если такими вышли коэффициенты форм .....м™-!. Но при т-\- ... -\- т=\ каждая из функ-

Щ5Й С"*»* " совпадающая, как это следует из (92.8), с одним из



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 [129] 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0105