Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

п \ 2

, Ра а=1

откуда вытекает:

- >0. (12.10)

Это и будет интересующее нас неравенство. Ниже мы увидим, что если /(а) является аналитической функцией, то неравенство (12.9) выражает необходимое и достаточное условие устойчивости).

§ 13. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Мы переходим теперь к изложению теорем Ляпунова о неустойчивости. Первая из этих теорем, которую мы будем в дальнейшем называть теоремой В, формулируется следующим образом.

Теорема В. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти функцию V (х..... д;„),

такую, что ее полная производная по времени состав-

ленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределен-ная, а сама функция V не будет знакопостоянной, знака,

противоположного с то невозмущенное движение не-

устойчиво.

Доказательство. Пусть

х,</г<Я (13.1)

- область знакоопределенности функции . Мы будем предполагать число h настолько малым, чтобы в области (13.1) выполнялись все условия для уравнений (6.1) возмущенного движения, которые

были оговорены в § 6. Допустим также, для определенности, что -j-

есть функция положительная.

Покажем, что, как бы мало ни было число т), всегда найдется такая система начальных значений дг", лежащая в области

Аго <Ti, (13.2)

) См. Примечание в конце книги (стр. 520).

конкретных систем регулирования. Укажем лишь на одно неравенство, непосредственно вытекающее из уравнений (12.8) и выражающее, следовательно, одно из достаточных условий устойчивости, а именно: разделив уравнения (12.8) на и сложив их, получим:



что решения x(t) уравнений (6.1) с указанными начальными значениями выйдут В некоторый момент времени из области (13.1). Этим, очевидно, и будет доказана неустойчивость движения.

Выберем с этой целью величины л:° таким образом, чтобы выполнялись не только неравенства (13.2), но и неравенство

К(а:0.....х1)>0.

Такой выбор величин х° возможен, так как по условию функция V не является знакопостоянной отрицательной и, следовательно, в любой сколь угодно малой окрестности начала координат она может принимать положительные значения. Рассмотрим теперь решение x(t) уравнений (6.1) с выбранными таким образом начальными значениями. Это решение в некоторый момент времени необходимо покинет область (13.1). В самом деле, допустим противное: пусть величины x(t)

при всех / > ("о удовлетворяют неравенствам (13.1). Тогда все

время будет оставаться положительной и, следовательно, V [х (t), . .. .... x„(t)] будет все время возрастать. Мы можем поэтому написать:

y[x,it).....„(0]>(4 •••• (3.3)

Отсюда необходимо получается, что

x(t) = max{\x,it)\.....х„(0)>. (13.4)

где X - некоторое положительное число, ибо если бы мы имели X (t) < X, то при достаточно малом X неравенство (13.3) не могло бы выполняться, так как функция Vix.....х„) непрерывна и обращается в нуль при Xi = ... = х„ == 0.

Так как есть функция определенно-положительная, то из

неравенства (13.4) вытекает, что для рассматриваемого решения x(t) все время выполняется неравенство

где I - достаточно малое положительное число. Следовательно,

.....x„(0] = l(4 хО)+ \dt>

>V(x?.....xl) + l(t-t,),

откуда вытекает, что V [х, (t).....х„ (t)] неограниченно возрастает.

Но Это противоречит условию, что решение х (/) остается в области (13.1), так как в этой области функция V, будучи непрерывной, необходимо ограничена. Это и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.



§ 14. Теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия, когда силовая функция обращается в минимум.

В качестве первого примера приложения теоремы В рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия, когда силовая функция в положении равновесия имеет не максимум, как в случае Лагранжа, а минимум.

Рассмотрим консервативную систему с п степенями свободы и запишем уравнения движения этой системы в канонической форме:

i - (-14 n

dt - dps • dt - dqs

(s=l, 2.....n),

H = T(q„ q„, p,.....Pn)-(gi.....

обобщенные координаты, р-обобщенные импульсы, Т - кинетическая энергия, и - силовая функция. Допустим, что система имеет положение равновесия, которому соответствуют нулевые значения координат (а также, очевидно, и импульсов). В этом случае уравнения (14.1) будут уравнениями возмущенного движения. Силовую функцию мы выберем таким образом, чтобы в положении равновесия она обращалась в нуль. Тогда, разлагая эту функцию в ряд по степеням q (полагая, что такое разложение возможно), будем иметь:

U=U(q,. q„)4-U„,,+

где Uj обозначает совокупность членов J-ro порядка. При этом, как известно, от > 2. Допустим теперь, что в положении равновесия силовая функция имеет минимум. Это, очевидно, означает, что U есть функция определенно-положите.гьная. Тогда на основании результатов § 7 форма (7„ будет по меньшей мере знакопостоянной положительной. Мы будем, однако, предполагать, что эта форма является знакоопределенной, что, как было доказано в § 7, обусловливает также знакоопределенность функции U.

Кинетическая энергия системы относительно импульсов р является квадратичной формой. Коэффициенты этой формы зависят от координат q. Обозначая значения этих коэффициентов при = ... = = 9 = 0 через flp, мы можем написать:

2Г = арр4-± A(q......,„) рр,

где A(q.....q"j-некоторые функции .....q, обращающиеся

в нуль при q = . .. = q - 0. Функция Т по самому своему значению принимает при + ...--P =5 О только положительные



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.007