п \ 2

, Ра а=1

откуда вытекает:

- >0. (12.10)

Это и будет интересующее нас неравенство. Ниже мы увидим, что если /(а) является аналитической функцией, то неравенство (12.9) выражает необходимое и достаточное условие устойчивости).

§ 13. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Мы переходим теперь к изложению теорем Ляпунова о неустойчивости. Первая из этих теорем, которую мы будем в дальнейшем называть теоремой В, формулируется следующим образом.

Теорема В. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти функцию V (х..... д;„),

такую, что ее полная производная по времени состав-

ленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределен-ная, а сама функция V не будет знакопостоянной, знака,

противоположного с то невозмущенное движение не-

устойчиво.

Доказательство. Пусть

х,</г<Я (13.1)

- область знакоопределенности функции . Мы будем предполагать число h настолько малым, чтобы в области (13.1) выполнялись все условия для уравнений (6.1) возмущенного движения, которые

были оговорены в § 6. Допустим также, для определенности, что -j-

есть функция положительная.

Покажем, что, как бы мало ни было число т), всегда найдется такая система начальных значений дг", лежащая в области

Аго <Ti, (13.2)

) См. Примечание в конце книги (стр. 520).

конкретных систем регулирования. Укажем лишь на одно неравенство, непосредственно вытекающее из уравнений (12.8) и выражающее, следовательно, одно из достаточных условий устойчивости, а именно: разделив уравнения (12.8) на и сложив их, получим:

что решения x(t) уравнений (6.1) с указанными начальными значениями выйдут В некоторый момент времени из области (13.1). Этим, очевидно, и будет доказана неустойчивость движения.

Выберем с этой целью величины л:° таким образом, чтобы выполнялись не только неравенства (13.2), но и неравенство

К(а:0.....х1)>0.

Такой выбор величин х° возможен, так как по условию функция V не является знакопостоянной отрицательной и, следовательно, в любой сколь угодно малой окрестности начала координат она может принимать положительные значения. Рассмотрим теперь решение x(t) уравнений (6.1) с выбранными таким образом начальными значениями. Это решение в некоторый момент времени необходимо покинет область (13.1). В самом деле, допустим противное: пусть величины x(t)

при всех / > ("о удовлетворяют неравенствам (13.1). Тогда все

время будет оставаться положительной и, следовательно, V [х (t), . .. .... x„(t)] будет все время возрастать. Мы можем поэтому написать:

y[x,it).....„(0]>(4 •••• (3.3)

Отсюда необходимо получается, что

x(t) = max{\x,it)\.....х„(0)>. (13.4)

где X - некоторое положительное число, ибо если бы мы имели X (t) < X, то при достаточно малом X неравенство (13.3) не могло бы выполняться, так как функция Vix.....х„) непрерывна и обращается в нуль при Xi = ... = х„ == 0.

Так как есть функция определенно-положительная, то из

неравенства (13.4) вытекает, что для рассматриваемого решения x(t) все время выполняется неравенство

где I - достаточно малое положительное число. Следовательно,

.....x„(0] = l(4 хО)+ \dt>

>V(x?.....xl) + l(t-t,),

откуда вытекает, что V [х, (t).....х„ (t)] неограниченно возрастает.

Но Это противоречит условию, что решение х (/) остается в области (13.1), так как в этой области функция V, будучи непрерывной, необходимо ограничена. Это и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.

§ 14. Теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия, когда силовая функция обращается в минимум.

В качестве первого примера приложения теоремы В рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия, когда силовая функция в положении равновесия имеет не максимум, как в случае Лагранжа, а минимум.

Рассмотрим консервативную систему с п степенями свободы и запишем уравнения движения этой системы в канонической форме:

i - (-14 n

dt - dps • dt - dqs

(s=l, 2.....n),

H = T(q„ q„, p,.....Pn)-(gi.....

обобщенные координаты, р-обобщенные импульсы, Т - кинетическая энергия, и - силовая функция. Допустим, что система имеет положение равновесия, которому соответствуют нулевые значения координат (а также, очевидно, и импульсов). В этом случае уравнения (14.1) будут уравнениями возмущенного движения. Силовую функцию мы выберем таким образом, чтобы в положении равновесия она обращалась в нуль. Тогда, разлагая эту функцию в ряд по степеням q (полагая, что такое разложение возможно), будем иметь:

U=U(q,. q„)4-U„,,+

где Uj обозначает совокупность членов J-ro порядка. При этом, как известно, от > 2. Допустим теперь, что в положении равновесия силовая функция имеет минимум. Это, очевидно, означает, что U есть функция определенно-положите.гьная. Тогда на основании результатов § 7 форма (7„ будет по меньшей мере знакопостоянной положительной. Мы будем, однако, предполагать, что эта форма является знакоопределенной, что, как было доказано в § 7, обусловливает также знакоопределенность функции U.

Кинетическая энергия системы относительно импульсов р является квадратичной формой. Коэффициенты этой формы зависят от координат q. Обозначая значения этих коэффициентов при = ... = = 9 = 0 через flp, мы можем написать:

2Г = арр4-± A(q......,„) рр,

где A(q.....q"j-некоторые функции .....q, обращающиеся

в нуль при q = . .. = q - 0. Функция Т по самому своему значению принимает при + ...--P =5 О только положительные