Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [130] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

допускают ограниченные решения при любом выборе ограниченных и непрерывных функций fsit). Но так как для уравнений (92.2) выполняются критерии § 88, то, как было показано в этом параграфе (критерий О. Перрона), все решения уравнений (92.11) ограничены. Таким образом, существует бесчисленное множество разложений (92.7) с ограниченными коэффициентами, формально удовлетворяющими уравнениям (92.6). Для нашей цели пригодно любое из этих разложений. И так как нам нужно лишь конечное число членов в этих разложениях, то вопрос о их сходимости не представляет для нас интереса.

Итак, допустим, что в качестве функций и, в преобразовании (92.3) взяты первые N членов разложений (92.7). Отбросим в правых частях

первой группы уравнений (92.4) все члены, содержащие ,.....„,

и рассмотрим полученную таким образом «укороченную» систему

ЧГ-"! .....yu)=yi{t У1.....у и. «1.....«„) (2•12)

(==1. 2.....k).

Допустим, что число N выбрано настолько большим, что невозмущенное движение yi = ... =у = 0 системы (92.12) устойчиво либо асимптотически устойчиво, либо неустойчиво при любом выборе членов порядка выше, чем N. Тогда на основании теоремы предыдущего параграфа невозмущенное движение для системы (92.4) будет соответственно устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво. То же самое будет справедливо и для исходной системы (92.1), так как по свойству преобразования (92.3) устойчивость по отношению к переменным у1 и 1 равносильна устойчивости по отношению к переменным У; и Xs-

Так как

t, у г.....yk)==yi(t, у,.....у,, и,.....

то полученный результат приводит к следующей теореме:

Теорема. Допустим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (92.1). Составим систему уравнений с частными производными (92.6), которой всегда можно удовлетворить формальными рядами вида

и.S4"• (Оу? у? (/«1 + ... -г1)

коэффициентов гр будет известной и ограниченной. Отсюда следует, что из уравнений (92.8) и (92.9) можно последовательно определять формы иу") нужного вида, если только уравнения

= Р.,х, + .. . + PsnXn + л it) (92.11)



) То есть тех уравнений, которые получатся из уравнений (92.12), если р последних взять произвольно большое, но конечное число членов.

с ограниченными коэффициентами. Подставим эти ряды вместо величин в первую группу уравнений системы (92.1), после чего они примут вид (92.12), где К? - формальные ряды, расположенные по степеням у.....у, с ограниченными коэффициентами.

Тогда, если невозмущенное движение yi= ... =yj, = 0 для системы (92.12)) устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво, и это определяется произвольным, но конечным числом N первых членов, вне зависимости от членов более высокого порядка системы (92.12), то невозмущенное движение у, =г ... = yj, = xi = ... = лг„ = О для системы (92.1) соответственно устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво.

При практическом применении теоремы необходимо задаться числом N. Очевидно, что увеличение числа N не изменит в уравнениях (92.12) членов порядка, не превосходящего первоначального значения N. Поэтому при выполнении вычислений следует сначала положить Л/= 1, а затем если в этом будет необходимость, это число увеличивать. При этом само собой разумеется, что общее решение линейной системы (92.2) предполагается известным, что соответствует существу задачи. Тогда решение уравнений (92.10) приведется к квадратурам.

Примечание. Допустим, что в уравнениях (92.1) все коэффициенты rj равны нулю и что разложение функщй Xit, у, ...

.. ., Уй, 0.....0) начинается членами р-то (р > 1) порядка. Тогда, как

легко видеть, можно считать, что разложение функций uit, Ух.....у,)

начинается членами также р-го порядка. Допустим, что наинизший

порядок членов, зависящих от лг;.....х„, в разложениях функций

Vi{t, Ух.....у, Хх.....х„) есть д, а наинизший порядок этих

членов относительно лг,.....х„ есть г<;. Тогда очевидно, что

в «укороченной» системе уравнений (92.12), которая решает задачу устойчивости, влияние второй группы уравнений (92.1) скажется лишь на членах порядка, не ниже чем q-r-{-pr. Поэтому, если задача устойчивости для «укороченной» системы решается членами порядка, не выше чем N, то вторая группа уравнений не будет иметь влияния на ответ и может быть отброшена, если выполняется условие

pN+l~g + r 92.13)

Отсюда следует, что когда правые части первой группы уравнений (91.1) не содержат линейных членов, то основная теорема преды-



§ 93. Случай, когда коэффициенты линейных членов постоянны. Приложение к установившимся и периодическим движениям.

Мы предполагали в предыдушем параграфе, что разложения правых частей первой группы уравнений (92.1) не содержат линейных членов. Однако многие критические случаи приводятся к исследованию систем вида

-jf =<7аЗ1+•••+<7гЛ + >г(. .....У*, .....х„),

-\-Xsii, Ур .... у„. Хр .... х„) (1= 1,2.....k; s== 1, 2.....«),

(93.1)

отличающихся от (92.1) наличием в первой группе уравнений линейных относительно У; членов. Наличие этих членов не препятствует применению теоремы § 91, так как эти члены содержатся в уравнениях (91.1), к которым эта теорема относится. Однако эти члены мешают привести систему (92.1) к виду (91.1), т. е. уничтожить во второй группе уравнений этой системы все не зависящие от Хр .... х„ члены до достаточного высокого порядка.

Действительно, поступая так же, как в предыдущем параграфе, т. е. делая замену переменных

Xs = ls-\-"s(t У1.....Ук) =

= + (i- Уг.....У к) + "f [t Уг . • •. У*)+ ... (93.2)

и стараясь подобрать функции так, чтобы уничтожить вышеуказанные мешающие члены, мы придем вместо уравнений с частными производными (92.6) к уравнениям

1Г + S t-" + • • • + ЬкУч + к, (Л У1.....у „иг.....«„)] :=

г=1

••• Ч-Л„и« + -.1У1+ ••• +-.*у* +

+ Л. У\.....Ук «1.....««)• (93.3)

душерв параграфа ветанется в силе, если наименьшей порядок р

членов разложений функций Xif, У1.....У*. 0.....0) удовлетворяет

не условию /7!>Л/---1 условию (92.13), которое может оказаться значительно слабее.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [130] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0016