Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Тогда уравнения, определяющие формы и*\ примут вместо (92.9) более сложный вид

= рУГ+ ••• +Vr+t/f (О У,.....у,) (93.4)

(5=1, 2.....и).

Вопрос о возможности удовлетворения уравнениям (93.4) формами с ограниченными коэффициентами представляет в общем случае большие трудности. Но если такие формы существуют и уравнениям (93.3) можно, следовательно, удовлетворить формальными рядами

"s = "i4t, у.....У,) + и?1Ук)+ (93-5)

(5=1. 2.....и)

с ограниченными коэффициентами, то все результаты предыдущего параграфа сохраняют силу. В этом случае задача устойчивости будет решаться первой группой уравнений (93.1), в которых величины должны быть заменены функциями м, т. е. формальными рядами (93.5).

Таким образом, вопрос о применимости к уравнениям (93.1) основной теоремы предыдущего параграфа сводится к выяснению возможности удовлетворения уравнениям (93.3) формальными рядами с ограниченными коэффициентами, или, что то же самое, к вопросу о существовании форм с ограниченными коэффициентами, удовлетворяющих уравнениям вида (93.4). Этот вопрос легко разрешается в случае, когда все коэффициенты и гу являются постоянными. К этому важному случаю, охватывающему все критические случаи установившихся и периодических движений, мы сейчас и переходим.

Полагая m.==n-{-k, рассмотрим систему т-го порядка

-=ajiZi-{- ... -i-ajz-{-Zj{t, zi.....z) (93.6)

(/=1, 2.....m),

где - постоянные, a коэффициенты разложений Zy, начинающихся членами не ниже второго порядка, являются непрерывными и ограниченными функциями времени. Допустим, что характеристическое уравнение

ау,-6у,Я = 0 (93.7)

имеет и корней с отрицательными вещественными частями и k корней с вещественными частями, равными нулю. Если, в частности, функции Zy не зависят явно от t, то мы будем иметь самый общий критический случай установившихся движений, а если Zj являются



периодическими функциями t, то мы получим самый обший случай периодических движений.

При помощи неособенного линейного преобразования с постоянными коэффициентами мы можем вместо переменных .....z„,

ввести переменные у,,

линейная часть уравнений (93.6) приняла вид

х„ таким образом, чтобы

dt dx,

= ?пУ1+ ••• --ЯскУк

at =PslXi +PsnXn + lsiyi- ... -\~ГУк

(/=1,2.....k; s= 1, 2.....«).

(93.8)

Здесь коэффициенты qij и pj таковы, что вещественные части всех корней уравнения га-го порядка

Рп - 9

Р22 - Р

(93.9)

Pnl Рп2 Рпп -9

отрицательны, а вещественные части всех корней уравнения k-то порядка

Чп - Яп • • • Яи

Я21 Я22- • • • Я2к

Якк -

(93.10)

Як1 Як2

равны нулю. Совокупность n-\~k корней уравнения (93.7) и определяет все корни уравнений (93.9), (93.10). При этом в случае необходимости указанное преобразование может быть выбрано таким образом, чтобы уравнения (93.8) имели канонический вид

dx, dt

dXs I

~аГ ~ s ~ Pss-i

{1 = 2. 3, (s = 2, 3,

k), (93.11) ra). (93.12)

Здесь Яр .... Я, -корни уравнения (93.10), а pj.....р„ - корни

уравнения (93.9). При этом корни Я; и р могут быть как простыми, так и кратными. Каждому кратному корню может отвечать как одна, так и несколько групп решений (в смысле § 19) уравнений (93.8). Все величины а, и являются постоянными, среди которых некоторые могут быть равны нулю, а именно: если общее число групп решений, соответствующих всем корням Я,- и р, равно р, то р-2 постоянных а,- и р, равны нулю, так как каждая такая группа имеет



/=1

(s = 2.....п; ai = 0).

Следовательно, если формы а™* вычислять последовательно в порядке возрастания индекса s, то для каждой такой формы получится уравнение вида

(s = 1, 2.....m; Oi = 0).

одно уравнение, содержащее только ту переменную, которая фигурирует в левой части уравнения. Каждая отличная от нуля постоянная Ui может быть сделана какой угодно, в частности, сколь угодно малой. Действительно, сделав дополнительное преобразование

yi = Уг У2-\У2 Уг = ИгУз.....yk = \- -- \-1Ук

где Al - произвольные постоянные, мы приведем уравнения (93.11) к виду

-#=м;+«;у;-г

в котором постоянные имеют значения a = /l ja, и если какая-нибудь Оу ф О, то aj подбором коэффициента Aj i может быть сделана равной наперед заданной отличной от нуля величине. То же самое можно, конечно, сделать и с постоянными р.

Если указанному линейному преобразованию подвергнуть нелинейные уравнения (93.6), то они примут вид (93.1), в котором все коэффициенты Qij, pj и rj являются постоянными. Так как при этом все корни уравнения (93.9) имеют отрицательные вещественные части, то для коэффициентов pf выполняются условия теоремы предыдущего параграфа. Эта теорема может быть, следовательно, применена к рассматриваемой сейчас системе, если только существуют формы м*."") с ограниченными коэффициентами, удовлетворяющие уравнениям вида (93.4).

Покажем, что такие формы действительно существуют. С этой целью будем предполагать, что линейная часть уравнений (93.1) приведена к виду (93.11), (93.12). Тогда уравнения (93.4) будут иметь следующий вид:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018