Тогда уравнения, определяющие формы и*\ примут вместо (92.9) более сложный вид

= рУГ+ ••• +Vr+t/f (О У,.....у,) (93.4)

(5=1, 2.....и).

Вопрос о возможности удовлетворения уравнениям (93.4) формами с ограниченными коэффициентами представляет в общем случае большие трудности. Но если такие формы существуют и уравнениям (93.3) можно, следовательно, удовлетворить формальными рядами

"s = "i4t, у.....У,) + и?1Ук)+ (93-5)

(5=1. 2.....и)

с ограниченными коэффициентами, то все результаты предыдущего параграфа сохраняют силу. В этом случае задача устойчивости будет решаться первой группой уравнений (93.1), в которых величины должны быть заменены функциями м, т. е. формальными рядами (93.5).

Таким образом, вопрос о применимости к уравнениям (93.1) основной теоремы предыдущего параграфа сводится к выяснению возможности удовлетворения уравнениям (93.3) формальными рядами с ограниченными коэффициентами, или, что то же самое, к вопросу о существовании форм с ограниченными коэффициентами, удовлетворяющих уравнениям вида (93.4). Этот вопрос легко разрешается в случае, когда все коэффициенты и гу являются постоянными. К этому важному случаю, охватывающему все критические случаи установившихся и периодических движений, мы сейчас и переходим.

Полагая m.==n-{-k, рассмотрим систему т-го порядка

-=ajiZi-{- ... -i-ajz-{-Zj{t, zi.....z) (93.6)

(/=1, 2.....m),

где - постоянные, a коэффициенты разложений Zy, начинающихся членами не ниже второго порядка, являются непрерывными и ограниченными функциями времени. Допустим, что характеристическое уравнение

ау,-6у,Я = 0 (93.7)

имеет и корней с отрицательными вещественными частями и k корней с вещественными частями, равными нулю. Если, в частности, функции Zy не зависят явно от t, то мы будем иметь самый общий критический случай установившихся движений, а если Zj являются

периодическими функциями t, то мы получим самый обший случай периодических движений.

При помощи неособенного линейного преобразования с постоянными коэффициентами мы можем вместо переменных .....z„,

ввести переменные у,,

линейная часть уравнений (93.6) приняла вид

х„ таким образом, чтобы

dt dx,

= ?пУ1+ ••• --ЯскУк

at =PslXi +PsnXn + lsiyi- ... -\~ГУк

(/=1,2.....k; s= 1, 2.....«).

(93.8)

Здесь коэффициенты qij и pj таковы, что вещественные части всех корней уравнения га-го порядка

Рп - 9

Р22 - Р

(93.9)

Pnl Рп2 Рпп -9

отрицательны, а вещественные части всех корней уравнения k-то порядка

Чп - Яп • • • Яи

Я21 Я22- • • • Я2к

Якк -

(93.10)

Як1 Як2

равны нулю. Совокупность n-\~k корней уравнения (93.7) и определяет все корни уравнений (93.9), (93.10). При этом в случае необходимости указанное преобразование может быть выбрано таким образом, чтобы уравнения (93.8) имели канонический вид

dx, dt

dXs I

~аГ ~ s ~ Pss-i

{1 = 2. 3, (s = 2, 3,

k), (93.11) ra). (93.12)

Здесь Яр .... Я, -корни уравнения (93.10), а pj.....р„ - корни

уравнения (93.9). При этом корни Я; и р могут быть как простыми, так и кратными. Каждому кратному корню может отвечать как одна, так и несколько групп решений (в смысле § 19) уравнений (93.8). Все величины а, и являются постоянными, среди которых некоторые могут быть равны нулю, а именно: если общее число групп решений, соответствующих всем корням Я,- и р, равно р, то р-2 постоянных а,- и р, равны нулю, так как каждая такая группа имеет

/=1

(s = 2.....п; ai = 0).

Следовательно, если формы а™* вычислять последовательно в порядке возрастания индекса s, то для каждой такой формы получится уравнение вида

(s = 1, 2.....m; Oi = 0).

одно уравнение, содержащее только ту переменную, которая фигурирует в левой части уравнения. Каждая отличная от нуля постоянная Ui может быть сделана какой угодно, в частности, сколь угодно малой. Действительно, сделав дополнительное преобразование

yi = Уг У2-\У2 Уг = ИгУз.....yk = \- -- \-1Ук

где Al - произвольные постоянные, мы приведем уравнения (93.11) к виду

-#=м;+«;у;-г

в котором постоянные имеют значения a = /l ja, и если какая-нибудь Оу ф О, то aj подбором коэффициента Aj i может быть сделана равной наперед заданной отличной от нуля величине. То же самое можно, конечно, сделать и с постоянными р.

Если указанному линейному преобразованию подвергнуть нелинейные уравнения (93.6), то они примут вид (93.1), в котором все коэффициенты Qij, pj и rj являются постоянными. Так как при этом все корни уравнения (93.9) имеют отрицательные вещественные части, то для коэффициентов pf выполняются условия теоремы предыдущего параграфа. Эта теорема может быть, следовательно, применена к рассматриваемой сейчас системе, если только существуют формы м*."") с ограниченными коэффициентами, удовлетворяющие уравнениям вида (93.4).

Покажем, что такие формы действительно существуют. С этой целью будем предполагать, что линейная часть уравнений (93.1) приведена к виду (93.11), (93.12). Тогда уравнения (93.4) будут иметь следующий вид: