Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [132] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

где форма t/f.™ будет известной, если формы и").....и все

формы иФ, для которых / < т, уже вычислены. Допустим, что все указанные формы действительно вычислены и вышли с ограниченными коэффициентами. Тогда коэффициенты формы UT будут также ограниченными. Положим:

Тогда, если коэффициенты Л™" вычислять в определенном порядке, то для каждого такого коэффициента получится уравнение вида

лГ.....

-(Р.-Л- ••• - VOf""У+Вр.....(93.14)

где В™- линейные функции от уже вычисленных коэффициентов с ограниченными коэффициентами. При этом нужно придерживаться следующего порядка вычисления коэффициентов. Сначала нужно вычислить коэффициент "\ После этого нужно вычи-

слить все коэффициенты, для которых m i-\-mi;= т, в порядке возрастания fft;j i, затем те, для которых т, 2=1, m i-\- mii = = fft-1, также в порядке возрастания fft , и т. д.

Допустим, что все уже вычисленные коэффициенты получились ограниченными. Тогда функция В""»)(/) в уравнении (93.14) будет ограниченной и из этого уравнения находим частное решение

=:e(P.5-"iS-••-"ft*)J e-{Ps-"i\- kh)B("i.....(93.15)

которое также получится ограниченным. Действительно, пусть fl<0 - вещественная часть корня р. Тогда, учитывая, что вещественные части всех величин Я,- равны нулю, и обозначая через Ci"iверхний предел функции [В™!(О]- будем иметь:

ЛС"!....."*)!< СС"!es " g-V dt =

s \ s

= - i- CC"!.....""*) (l - eV) < L cC"!....."*)

as s \ a

ЧТО и доказывает предложение.



Если теперь учесть, что вещественная часть величины р-m-iXi- . .-. -rtikk отрицательна, то мы придем к заключению, что не только решение (93.15), но и все решения уравнения (93.14) получатся ограниченными.

Таким образом, если все формы м*,.....и™- получились

с ограниченными коэффициентами, то существует бесчисленное множество форм и*,™), удовлетворяющих уравнению (93.4) и обладающих ограниченными коэффициентами. Но так как формы UsK для которых, очевидно, имеем:

известны и обладают ограниченными (постоянными) коэффициентами, то из вышесказанного следует, что существует бесчисленное множество разложений, формально удовлетворяющих уравнениям (93.3). Следовательно, в рассматриваемом случае теорема предыдущего параграфа имеет силу, и мы приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Допустим, что в уравнениях (93.1) коэффициенты Qij, Psj и rj постоянны, причем уравнение (93.9) имеет корни только с отрицательными вещественными частями, а вещественные части всех корней уравнения (93.10) равны нулю. Тогда существует бесчисленное множество разложений (93.5) с ограниченными коэффициентами, формально удовлетворяющих системе уравнений с частными производными (93.3). Выбрав какое-нибудь одно аз этих разложений, подставам его вместо величин х в первую группу уравнений (93.1) и рассмотрим полученную таким образом «укороченную» систему

= ЧпУх+ +Qi4yk+yi{t. Ух.....У*. «1.....««) (93.16)

(/ = 1. 2.....k).

Если невозмущенное движение Ух~- • • -Ук - «укороченной» системы устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво, и это определяется конечным числом членов в этих уравнениях, то и невозмущенное движение Xi = ... - х„ = у - = ...=Уй = 0 для системы (93.1) соответственно устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво.

Допустим, что мы имеем дело со случаем периодических движений, т. е. что функции К; и Aj в уравнениях (93.1) по отношению к t периодичны с некоторым периодом (о. Применяя доказанную теорему, приведем задачу к исследованию системы А-го порядка. Однако такое приведение будет, вообще говоря, иметь смысл лишь в том случае, если система (93.16) также будет обладать периоди-



ческими коэффициентами, ибо система т n-\~k уравнений с периодическими коэффициентами может оказаться для исследования более простой, чем система из k уравнений с непериодическими коэффициентами.

Система (93.16) будет, очевидно, обладать периодическими коэффициентами, если такими коэффициентами обладают формальные разложения (93.5). Покажем, что действительно существует система разложений вида (93.5) с периодическими коэффициентами, формально удовлетворяющих уравнениям (93.3), и что такая система будет единственной.

Для этого, очевидно, достаточно показать, что если коэффициент fi™в уравнении (93.14) является периодической функцией времени периода «, то это" уравнение допускает одно и только одно периодическое решение для А".....""ft) с тем же периодом. Но уравнение (93.14) имеет частное решение

e-"fit)dt

где для краткости положено

а = р- - ... - т,Я,, / it) ==-. ..... it).

Это решение, как было показано в § 67, является периодическим с периодом (0. Остальные решения уравнения (93.14) не будут периодическими, так как общее решение однородной части этого уравнения не периодично.

Из вышесказанного вытекает справедливость следующей теоремы.

Теорема 2. Если при выполнении условий теоремы 1 коэффициенты разложений функций Yi и являются периодическими функциями времени с периодом и, то существует одна и только одна система разложений (93.5), формально удовлетворяющих уравнениям {93.3) и обладающих периодическими коэффициентами с тем же периодом. Подставляя эти разложения вместо величин х в первую группу у равнений {93.1), мы получим «укороченную» систему (93.16) также с периодическими коэффициентами. Задача устойчивости для системы (93.1) эквивалентна той же задаче для «укороченной» системы, если последняя задача решается конечным числом членов.

Допустим, наконец, что правые части уравнений (93.1) не зависят совсем от времени. Тогда, как легко видеть, существует одна и только одна система разложений (93.5) с постоянными коэффициентами, удовлетворяющих формально уравнениям (93.3), которые вслед-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [132] 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019