Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [133] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

9s - "ii - ... - /MftXft

Мы приходим, таким образом, к следующей теореме.

Теорема 3. Если при выполнении условий теоремы 1 правые части уравнений (93.1) не зависят явно от времени, то существует одна и только одна система разложений

"s = ":iyi.....Ук) + "?(У1.....

формально удовлетворяющих уравнениям (93.17). Если этими разложениями заменить величины х в первой группе уравнений (93.1), то получится «укороченная» система уравнений (93.16), также не зависящих от времени. Задача устойчивости для системы (93.1) эквивалентна задаче устойчивости для «укороченной» системы, если последняя задача решается конечным числом членов.

При доказательстве основной теоремы § 91 мы сделали относительно коэффициентов ограничение, что модули коэффициентов квадратичной формы

2 УД9пУ1+•••+9/ftyft) (93.18)

достаточно малы. Покажем, что при подходящем выборе переменных У; во всех рассмотренных в настоящем параграфе случаях указанное ограничение действительно выполняется, так что теоремы 1, 2 и 3 можно будет считать полностью доказанными.

Мы будем для этого предполагать, что линейная часть первой группы уравнений (93.1) имеет вид (93.11), который придется, однако, привести к вещественной форме, так как коэффициенты qij в уравнениях (91.1) предполагались вещественными.

Коэффициенты в уравнениях (93.11) можно предполагать вещественными, так как, по доказанному, каждый такой коэффициент, отличный от нуля, может быть сделан совершенно произвольны*),

ствие этого принимают вид

\ЯпУ1+ -{-Я1кУк+У1(У1.....у к «1.....

= P.lKl + • • • + Р,„и„ 4- ГхУх + . . . + г,у +

+ -ЛУ1.....их, а„). (93.17)

Действительно, если величина "*) в уравнении (93.14)

является постоянной, то это уравнение имеет единственное постоянное решение

дС"!.....""ft)



Что же касается коэффициентов Я,, являющихся корнями уравнения (93.10), то они могут либо равняться нулю, либо быть чисто мнимыми. Допустим для определенности, что уравнение (93.10) имеет нулевой корень р-й кратности. Пусть = Яз = . • • = Яр=: 0. Тогда первые р уравнений (93.11) не нуждаются в дальнейших преобразованиях и имеют вид

-1Г = -dF-jyi- (У=2, 3.....р). (93.19)

Остальные k - р уравнений (93.11), соответствующие чисто мнимым корням, требуют дальнейших преобразований. Пусть ± kl-какая-нибудь пара чисто мнимых корней уравнения (93.10) q-й кратности.

Пусть у**.....у** и у*.....у* - соответствующие этим корням

переменные у,, так что соответствующие этим корням уравнения (93.11) имеют вид

.= Я/у(«) + аУ-

(0=2, 3.....q).

(93.20)

гдеуд - соответствующие рассматриваемым уравнениям постоянные а,, причем мы считаем, что эти постоянные в уравнениях для у"* и для уС* имеют одинаковые значения, что не нарушает общности.

Вводя вместо переменных у*"* и у"* переменные И].....и, .....

при помощи подстановки

yW=:Ua-{-iVa. у№ = иа- iv (0=1, 2.....q).

мы заменим 2q уравнений (93.20) с мнимыми коэффициентами 2q уравнениями

. du„

= Я«„

dv dt

(0 = 2, 3.....q)

(93.21)

с вещественными коэффициентами.

Аналогичным образом мы поступаем со всеми остальными чисто мнимыми корнями. Таким образом, линейная часть первой группы системы (93.1) состоит из уравнений (93.19) и одной или нескольких групп уравнений вида (93.21). Соответственно с этим квадратичная



форма (93.18) будет складываться из квадратичной формы

и из одной или нескольких квадратичных форм вида

Но коэффициенты всех этих форм можно считать численно сколь угодно малыми, так как такими, по доказанному выше, можно считать величины ttj и Y„-

Таким образом, вышеуказанное ограничение для коэффициентов в рассматриваемых сейчас случаях действительно выполняется, и мы можем поэтому теоремы 1, 2 и 3 считать полностью доказанными.

На этом мы заканчиваем изложение общей теории критических случаев. В оставшейся части этой главы мы, используя полученные результаты, исследуем ряд критических случаев для установившихся и периодических движений. Мы рассматриваем установившиеся движения, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет пару нулевых корней, когда оно имеет две пары чисто мнимых корней и когда оно имеет один нулевой и пару чисто мнимых корней. Аналогичные случаи рассматриваются и для периодических движений.

§ 94. Критический случай двойного нулевого кория для установившихся движений.

Рассмотрим систему («-f-2)-ro порядка с постоянными коэффициентами, для которой хара(<теристическое уравнение первого приближения имеет я корней с отрицательными вещественными частями и два корня, равных нулю. Подходящим выбором переменных система может быть приведена к виду

= ЯпХ -\- qi2y-\- X (X, у, Xi.....л:„),

4f = 2iX + fey+K(a;, у, xi.....л:„).

= Ps\Xr\-- +РзпХп+РзХ+ЯзУ+Х{х. у, Xi.....х„)

(5=1. 2.....«),

где коэффициенты pj таковы, что характеристическое уравнение Рп-Р Pl2 ••• Ры

Р21 Р22~9 •• Р2п

(94.1)

Рпп-Р

(94.2)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [133] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013