Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

НЕУСТАМОбИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЙ

[гл. VI

имеет корни только с отрицательными вещественными частями, а оба корня характеристического уравнения

Яп - 1l2

рабны нулю. X, Y и Х - сходящиеся в некоторой окрестности начала координат ряды, расположенные по степеням переменных х, у.

(94.3)

Наряду

начинающиеся членами не ниже второго порядка.

(94.1) рассмотрим систему второго порядка

с системой

dx dt

= qnX + qi2y + Xix, у,

= q2iX + q22y+Y (х. у, .....а„).

(94.4)

где Usix, у) - формальные рещения уравнений с частными производными (93.17). Обозначим соответственно через Х-"(х, у) и У"\х, у) совокупности членов т-го порядка в правых частях уравнений (94.4) и заменим эти уравнения следующими:

dx dt

= qnX-hqi2y + X-4x, у) +

+ Чх. У) + Ф(Л X, у).

= g2iX-\-q22y + Y4x. у)+ ...

+ Г<Чх, у) + ф(Л X, у).

(94.5)

(94.6)

Здесь N - достаточно большое целое число, а ф(, х, у) и ф(, X, у) - аналитические функции переменных д; и у, которые при всех tQ удовлетворяют неравенствам

ф(. X, у)<Л{л; + у)+.

ф(. X. у)<Л{л: + у)+.

где А - положительная постоянная. Тогда на основании теоремы 3 предыдущего параграфа, если невозмущенное движение х = у = 0 для системы (94.5) устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво при любом выборе функций ф и ф, удовлетворяющих условиям (94.6), то это же самое будет справедливо и для невозмущенного движения X - y = Xi==...=x„ = Q полной системы (94.1). Таким образом, задача сводится к исследованию системы (94.5).

Мы будем предполагать, что переменные л; и у выбраны таким образом, что линейная часть уравнений (94.5) имеет каноническую форму. Здесь приходится рассматривать два случая. В первом случае двойной нулевой корень не обращает в нуль хотя бы один из мино-



=Y" (л;, у) 4- ... + Г< (X, у)4-ф(, X, у).

(94.7)

где fft 2.

Первый из указанных случаев для системы второго порядка подробно рассмотрен А. М. Ляпуновым). Для систем произвольного порядка этот случай исследован Г. В. Каменковым 2). Второй случай как для систем второго порядка, так и для систем произвольного порядка рассмотрен автором ) и другим методом - Г. В. Каменковым. Мы ограничимся здесь рассмотрением второго случая. Этот случай является особенно важным, так как к нему приводятся наиболее интересные для практики другие критические случаи, когда характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. В этом мы убедимся в двух следующих параграфах.

Итак, мы будем рассматривать задачу устойчивости- для системы (94.7). Рассмотрим две формы {т-\- 1)-го порядка Р{х, у) и G(x, у), определяемые равенствами

Р (х. у) = хХ" (X, у) 4- уК*"" (х, у), 1

G(x. у) = xr""-, y) - yX"Ux, у). J

Эти формы будут играть важную роль в дальнейшем исследовании. Если форма G{x, у) не является знакоопределенной, то

) Ляпунов А. М., Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Матем. сб., т. XVII, вып. 2, 1893. Работа переиздана во втором и третьем (1950 г.) изданиях книги: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения.

) К а м е н к о в Г. В., Об устойчивости движения. Сб. трудов Казанского авиац. ин-та, № 9, 1939.

) М а л к и н И. Г., Некоторые вопросы теории устойчивости движения в смысле Ляпунова. Сб. трудов Казанского авиац. ии-та, 7, 1937.

ров («-f-l)-ro порядка характеристического определителя исходной системы уравнений возмущенного движения, или, что то же самое, этому корню отвечает одна группа решений первого приближения этой системы. В этом случае, если линейная часть уравнений (94.5) имеет каноническую форму, то будем иметь дц = glj = д22 = О, ~ 1 и, следовательно, эта линейная часть имеет вид

Вторым случаем будет тот, когда двойному нулевому корню отвечают две группы решений уравнений первого приближения. В этом случае все коэффициенты д, д, gv Ччч равны нулю и уравнения (94.5) имеют вид

.Х-\х, у)+ ... +.Y()(x, v) + ф(, х, у).



отлична от нуля.

4°. Форма G знакоопределенна, и величина (94.11) равна нулю. Мы исследуем каждый из этих случаев по отдельности. Случай 1°. Рассмотрим систему однородных уравнений

= Х"\х,у), =.Y"\x, у). (94.12)

В рассматриваемом случае уравнение (94.9) имеет вещественные решения. Каждая определяемая этим решением прямая является интегральной кривой уравнений (94.12). Действительно, согласно определению формы О на каждой такой прямой имеем тождественно

Тождество (94.13) показывает также, что каждая проходящая через начало координат интегральная кривая необходимо касается одной из прямых (94.9).

По условию, на каждой прямой (94.9) форма Я, представляющая собой, очевидно, для уравнений (94.12) производную по времени от

выражения (х + у2), принимает только отрицательные значения.

Следовательно, движение по этим прямым, являющимся, как уже указывалось, интегральными кривыми уравнений (94.12), направлено к началу координат. Отсюда в силу непрерывности поля скоростей для уравнений (94.12) и того обстоятельства, что каждая интеграль-

уравнение

0{х, у) = 0 (94.9)

определяет одну или несколько прямых, проходящих через начало координат.

Угловой коэффициент k каждой такой прямой определяется, очевидно, уравнением

К("(1. k) - kX"{\, k) = Q. (94.10)

Число этих прямых не превосходит tn~\-l. Мы будем различать четыре случая.

Г. Форма G не является знакоопределенной, и на всех прямых (94.9) форма Р может принимать только отрицательные значения (за исключением, конечно, начала координат).

2°. Форма G не является знакоопределенной, и хотя бы на одной прямой (94.9) форма Р может принимать положительные значения.

3°. Форма О знакоопределенна, и величина

P(cos», sin»)

G(cos*, sin*)" (У4.И)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0096