Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

ная кривдя этих урьавнений, проходящая через начало координат, касается одной из прямых (94.9), непосредственно вытекает, что все интегральные кривые уравнений (94.12) проходят через начало координат и движение по ним направлено к этой точке. Следовательно, невозмущенное движение для уравнений (94.12) асимптотически устойчиво. Но тогда на основании общей теоремы § 85 невозмущенное движение для уравнений (94.7) будет также асимптотически устойчиво при любом выборе функций ф(Л х, у) и ф(/, х, у), удовлетворяющих условиям (94.6).

Итак, в случае V невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Случай 2°. Допустим теперь, что уравнение (94.9) имеет по-прежнему вещественные решения, но хотя бы на одной из прямых, определяемых этим уравнением, форма Р может принимать положительные значения. Не нарушая общности рассуждений, мы можем считать, что этой прямой является ось х. Действительно, этого всегда можно добиться простым поворотом осей координат. Но если уравнение (94.9) имеет решение у = О, то форма К*" должна обращаться в нуль при у = 0. Мы можем, следовательно, писать:

K<" = fiyx"-+52yx"-+ ... + В ,у-х + Ву. (94.14) Для формы имеем:

И) Лх" + Аух"-Ч ... -f Л, 1у"-х + Л„у". (94.15)

причем коэффициент А необходимо отличен от нуля, так как при у = 0 форма Р может принимать положительные значения. Кроме того, при т нечетном он должен быть положительным, а при т четном он может быть как положительным, так и отрицательным. Но в последнем случае замена в дифференциальных уравнениях л: на -х изменяет знак коэффициента А на обратный. Поэтому, не нарушая общности рассуждений, мы можем предполагать, что коэффициент Л > О положителен.

Имея в виду доказать неустойчивость невозмущенного Движения, мы постараемся в рассматриваемом случае построить для уравнений (94.7) функцию, удовлетворяющую условиям теоремы о неустойчивости Н. Г. Четаева (§ 48).

Рассмотрим с этой целью функцию

2К = а2д;2 -у2, (94.16)

где - некоторая положительная постоянная, и составим полную производную от этой функции по времени в силу уравнений (94.7). Будем иметь:

= axAГ(")-yK<"Ч где ненаписанные члены имеют порядок, не меньший т -\-2.



функция V принимает положительные значения при у = 0. То же

самое будет иметь место и по отношению к функции если

численные значения х предполагать достаточно малыми и в случае чет1юго m л: > .0. Это непосредственно следует из того, что А"" имеет вид (94.15), и коэффициент А положителен. Следовательно, вблизи начала координат существует область, содержащая внутри

себя ось X, где одновременно К > О и -тг > 0.

Установив это, допустим сначала, что Л > В. Покажем, что в этом случае постоянную а можно выбрать настолько малой, чтобы

область К > О была заключена внутри области > 0.

В самом деле, функция V может прини\1ать положительные значения только при условии у = Рах, где р - произвольная величина,

лежащая на отрезке [-1, +1]. Но, заменяя в выражении величину у через рал: и принимая во внимание (94.14) и (94.15), будем иметь:

1 „ ={С + /)хпК где

С-=-(А - Вр2) а2 + (iP - ВзР) + ...

... +Ит-1Р -ВР )а +А„р а

а / - аналитическая функция х, обращающаяся в нуль при л: = 0. Отсюда следует, что при достаточно малом х знак величины (С-- f)x™ совпадает со знаком величины С (по крайней мере, при X > 0). Что же касается знака величины С, то постоянную а можно выбрать настолько малой по абсолютному значению, чтобы знак С совпадал со знаком величины А - Вр2. Но так как Л>В и Л > О, то величина Л - Вр2 будет положительной при всех значениях величины р на отрезке [-1, +1].

Таким образом, в достаточно малой окрестности начала координат существует область К > О, заключенная внутри области > 0.

Следовательно, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы о неустойчивости Н. Г. Четаева и невозмущенное движение неустойчиво.

Допустим теперь, что Л < В. В этом случае на границе области dV

К > О производная будет отрицательной, и, следовательно, функция V не будет удовлетворять условиям теоремы Н. Г. Четаева. Тем не менее, невозмущенное движение будет также неустойчиво, что может быть доказано следующим образом,



Рассмотрим снова функцию (94.16), где а, так же как и в предыдущем случае, выбрана настолько малой, что знак (C-f-/) д;"+1 при достаточно малых значениях х совпадает со знаком величины А - fip2. Пусть ЭТО будет при 0<,xh. Так как сейчас А < В, то величина А - Вр2 не будет положительна при любом р на отрезке [-1, но она во всяком случае будет положительна при iPKp.

где р-достаточно малое положительное число. Следовательно, в области О < л: < й, К, > О, где

производная

сается производной

2Vi = р2а2л:2 - у2,

будет во всяком случае положительна. Что же ка-dV,

то на границе Kj = О рассматриваемой

области она будет отрицательна, так как функция Kj обладает, очевидно, такими же свойствами, как и V.

Пусть АОВ (рис. 21) - границы области К > О, а AiOBiA] - границы области Qxft, Ki > 0. Внутри этой последней рассмотрим область NMQP (эта область на чертеже заштрихована), ограниченную отрезком NP гиперболы К = С и отрезком MQ гиперболы V = с. При этом С - какое-нибудь фиксированное число, а с предполагается сколь угодно малым, так что дуга MQ расположена сколь угодно близко от начала координат. Внутри области NMQP производная


Рис. 21.

положительна, и для нее существует отличный от нуля положительный нижний предел. Обозначим этот предел через / и пусть

T - -Y- Рассмотрим интегральную кривую уравнений (94.7), выходящую в момент времени = 7 из какой-нибудь точки F дуги NP. Пусть x = x{t) и у = у(0 - уравнение этой интегральной кривой. Будем следовать вдоль этой интегральной кривой в сторону убывания t вплоть до момента времени = 0. При этом интегральная кривая будет приближаться к началу координат, по крайней мере, до тех пор, пока она не покинет области АОВАх, так как в этой



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014