Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

VlxiQ), у (0)1 = К [X (Г), у(Т)]-

dt<:

<V[x(T), y{T)]-lT = C-C = 0,

что невозможно, так как по предположению точка х (0), у (0) находится в области MQNP к, следовательно, К [л; (0), у (0)] > с > 0.

Таким образом, точка Е находится внутри области OMQ. Рассмотрим теперь интегральную кривую, выходящую в момент времени / = О из точки Е. Это, очевидно, будет та же самая интегральная кривая X(t), у (t). К моменту времени t~Т эта кривая достигнет точки F, находящейся на определенном расстоянии от начала координат. Но так как при этом точка Е находится сколь угодно близко от начала координат, то невозмущенное движение неустойчиво

Допустим, наконец, что А=В. Рассмотрим функцию

2V = x - у2

и область

Q<x<h, V>Q. (94.17)

Все значения переменных, лежащих в этой области, удовлетворяют соотношению у = х, где р - произвольная величина, лежащая на отрезке [-I, Составим производную от V по времени в силу

уравнений (94.7) и заменим в ней величину у через рх. Тогда,

1) Построенные нами функции н Кг удовлетворяют другой теореме Н. Г. Четаева о неустойчивости.

области > 0. Но если бы указанная интегральная кривая в какой-нибудь момент времени 0<;т<Т покинула область AOBiAp что она могла бы сделать лишь только через границы ON или ОР, то в ьтот момент времени одновременно выполнялись бы условия Kj = О,

~р О, что невозможно, так как на отрезках ОА и ОВ,. произ-

водная -- отрицательна. dt

Таким образом, на всем отрезке времени от Т до О рассматриваемая интегральная кривая будет оставаться внутри области NOPN. Допустим, что при / = О она будет проходить через точку Е. Покажем, что точка Е непременно находится внутри области OMQO. Для этого, очевидно, достаточно показать, что при убывании / от Т до О рассматриваемая интегральная кривая пересекает в какой-нибудь момент времени дугу MQ. Допустим противное, что HHTerpajbHaa кривая при всех О <; / <; Т находится внутри области A1QNP. Тогда будем иметь;



принимая во внимание (94.14) и (94.15), получим:

где p - коэффициент при x"" в форме <"+\ а /-аналитическая функция переменной х, обращающаяся в нуль при х = 0.

Коэффициент р можно предполагать сколь угодно малым. В самом деле, если в уравнениях (94.7) переменную у заменить переменной ц при помощи подстановки ц - оу, где о - постоянная, то в формах Х" и К*™ коэффициенты Л и не изменятся, а в форме ("+ коэффициент при х+ умножится на о. Следовательно, выбрав о достаточно малой, можно всегда добиться, чтобы этот коэффициент был численно сколь угодно малым.

Так как Л>0, В=А и р численно мало, то вблизи начала dVl

-77- будет принимать положительные зна-

чения (при X > О, если т. - четное) при всех значениях р, лежащих на отрезке [-1, -\-]]. Следовательно, при fi, достаточно малом,

координат величина

во всей области (94.17) производная

принимает положительные

значения и функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Н. Г. Четаева. Отсюда вытекает, что невозмущенное движение неустойчиво.

Итак, в случае 2° невозмущенное движение неустойчиво. При этом очевидно, что это будет справедливо при любом выборе функций ф(/, X, у) и ф(/, X, у), удовлетворяющих условиям (94.6).

Случай 3°. Допустим теперь, что G есть форма знакоопределенная и величина X, определяемая равенством (94.11), отлична от нуля. Вводя полярные координаты

x = rcos&, y = rsini9-,

преобразуем систему (94.7) к следующему виду:

dr dt

= r"P (cos 1Э-, sin*)H-= r«-iG (COS*, sini9-)--

(94.18)

-fr-G,*)- ... H-r-iOv i(*) + 0(/, r), I

где и - периодические функции периода 2я (формы относительно COS* и siniQ-), а R{t, Ь, г) и 0(, г) при всех значениях и & удовлетворяют условиям

\R{t, г)\<Вг+\ lQ(t, г)\<,Вг, (94.19) где В-некоторая постоянная.



(94.24)

где Pit (&) и Qit - периодические функции периода 2я, а функции /?* и 0* при всех значениях / О и й удовлетворяют неравенствам

11Г (t. р) < Cpv+i. 1 О* (t. р)1 < Cpv, (94.25)

где С-некоторая постоянная.

Так как 0(cos, sinu) никогда не обращается в нуль, то из первого уравнения (94.24) сразу вытекает, что невозмущенное движение при ЯО < О асимптотически устойчиво, а при ЯО > О неустойчиво, и это будет иметь место при любом выборе функций R* -и 0*, удовлетворяющих условиям (94.25) и, следовательно, при любом выборе функций ф(Л X, у) и ф(/, X, у), удовлетворяющих условиям (94.6).

Итак, в случае 3° невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво при < О и неустойчиво при 10 > 0.

Из (94.11) следует, что функция гй), определяемая равенством о

являющаяся вследствие знакоопределенности О непрерывной, будет периодической периода 2я. Такой же, следовательно, будет и функция

Ф(*) = е*(*). (94.21)

которая к тому же никогда не обращается в нуль.. Вследствие этого функция [ф(&)]~ будет также непрерывной. Из (94.20) находим:

= {rrl Т!!-)ф- (4•22)

V G (cos *, sin *) l\

Введем теперь вместо переменной г переменную р при помощи подстановки

г = рф(*). (94.23)

Из отмеченных свойств функции ф(в) вытекает, что задача устойчивости по отношению к переменной г равносильна той же задаче по отношению к переменной р. Уравнения (94.18) на основании (94.22) примут вид

==0 (cos sin *) ф-1 (*) р" +

+ ;+i()P"+ ••• +P:v(*)P + /?*(. Р). -=0(cos*, 81п1Э-)ф-1(*)р"- +

+ Q,„(*)p"+ ... H-Qy j()piv-i + 0*(/. р).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014