Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [137] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

(94.26)

•• H-Qyv-i(*)P- + 0*(. *. Р). Отсюда, исключая dt, находим:

- = /?2(*)р2+ ... Н-/?у,1 (*)рА-1-"Н-ф(, р), (94.27)

где (&) - периодические функции с периодом 2я, а Ф имеет порядок малости не ниже N~\-2 - т и является функцией такого же типа, как и /?* и 0*.

Если в уравнении (94.27) отбросить член Ф, то оно будет отличаться от уравнения (66.1), подробно изученного в § 66, только тем, что независимой переменной является не время, а полярный угол *. Мы можем поэтому применить к уравнению (94.27) все рассуждения § 66. Поступая по указанному в этом параграфе второму способу решения задачи, попытаемся удовлетворить уравнению (94.27) решением вида

р=сН-ф2(*)с2Н-фз(*)с34- (94.28)

где с - произвольная постоянная, а ф - некоторые периодические функции периода 2я. Подставляя (94.28) в (94.27) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с, мы получим для определения ф уравнения вида

= /=-,(*) (ft = 2, 3. ...), (94.29)

где /j(&)-некоторые полиномы с периодическими коэффициентами (если k<,N-{-l - т) от фз, .... fp-i- Уравнения (94.29) дают возможность последовательно определять коэффициенты ф при помощи квадратур. Однако кроме особо исключительных случаев, которые мы здесь не будем рассматривать, коэффициенты ф не будут получаться периодическими при любом k. Пусть ф,- - первый непериодический коэффициент в ряду фд, фз, ... Этот коэффициент будет иметь вид

4>ig-\-b). (94.30)

Случай 4. Допустим, наконец, что О есть форма знакоопределенная и величина X, определяемая формулой (94.11), равна нулю. Поступая, как и в предыдущем случае, т. е. вводя полярные координаты и затем переменную р при помощи подстановки (94.23), мы получим уравнения (94.24), которые сейчас примут вид

=;+1 (*)?""++ ••• -hPiip+Rt. *. р).

= о (cos sin *) ф"-1 (*) р"-1 + (*) Н- • • •



где ненаписанные члены имеют порядок, не меньший При этом

очевидно, что задача устойчивости по отношению к переменной z эквивалентна той же задаче по отношению к переменной р.

Для производной на основании (94.26) имеем:

4г = Ж4rS-G(cos51п*)ф-р"+-+ ...

Отсюда непосредственно вытекает, что при gO > О невозмущенное движение неустойчиво, а при gO < О оно устойчиво асимптотически, причем этот результат будет справедлив при любом выборе функций ф(/, X, у), {t, X, у), удовлетворяющих условиям (94.6). Это и дает решение задачи устойчивости в случае 4°.

Полученные результаты могут быть сведены в следующую теорему.

Теорема. Допустим, что предложена система (п-\-2)-го порядка дифференциальных уравнений возмущенного движения, для которых характеристическое уравнение первого приближения имеет п корней с отрицательными вещественными частями и двойной нулевой корень, которому соответствуют две группы решений уравнений первого приближения. Подходящим выбором переменных эту систему можно представить в следующем виде:

dx у dy

-PslXx+ ... + PsnXn + PsX-r-qsy + Xs

(94.31)

где X, У, -аналитические функции переменных х, у,

Xi.....х„, разложения которых начинаются членами не ниже

второго порядка, а коэффициенты pj таковы, что уравнение (94.2) имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

Составляя систему уравнений с частными производными

(х, у, и,.....«„) + -K(x, у, и,.....«„) =

= /7,lHi+ ... + Psnln + РзХ-\-дУ-\-Х{х, у. Hi.....и„).

где g - некоторая постоянная, а ф; (&) - периодическая функция. Введем теперь в уравнение (94.27) вместо переменной р переменную z при помощи подстановки

P=Z + 92(*)Z2+ ... --ф (*)2-1+,,.(*)г

Тогда, считая, что N~;>l-\-m-1, мы получим, как это было показано в § 66, следующее уравнение:



попытаемся удовлетворить ей формально выражениями и {х, у), являющимися рядами по степеням х и у, не имеющими свободных членов. Такие ряды всегда найдутся и будут единственными. Этими рядами заменяем величины х в первых двух уравнениях (94.31), после чего они примут вид

Х"\х, у) + ("+)(х, у)+

=Y"Hx. у)Н-К("+>(х, у)+

(94.32)

где Х и К* - формы 1-го порядка переменных х и у. Далее составляем формы Р{х, у) и 0{х, у) по формулам (94.8). Тогда:

1) Если форма G не является знакоопределенной и форма Р на всех прямых, определяемых уравнением (94.9), может принимать только отрицательные значения, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

2) Если форма О не является знакоопределенной и хотя бы на одной из прямых, определяемых уравнением (94.9), форма Р может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

3) Если форма О является знакоопределенной и величина %, определяемая формулой (94.11), отлична от нуля, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при XG < О м неустойчиво при XG > 0.

4) Если форма G является знакоопределенной и Х = 0, то для решения задачи устойчивости поступаем следующим образом.

Вводим в уравнения (94.32) вместо переменных х и у переменные р и & при помощи подстановки х = рф(&)cos у = ==рф(&)з1п&, где Ц)-- периодическая с периодом 2я функция определяемая формулой (94.21), в которой ф) определяется формулой (94,20). У равнения (94.32) примут вид

Р- = ,, ф) р(-+1) + Р2 (*) + • ..

dt dt

:0(cos&, sin&)ф"-i(*)p"~Ч-Qm(*)P"-

(94.33)

где Pj, и - периодические функции периода 2ir. Из (94.33), исключая t, находим уравнение

- = /?2(*)р2+/?з(*)р3 4. ....

где R,, - периодические функции периода 2я. Этому уравнению пытаемся удовлетворить решением вида (94.28), в котором



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [137] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0015