Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [138] 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dt dz.

= -Xjiyj+Yj{Xi, у,, Хз, Уз, Zi.....2„),

+ Z,(X,, У1, Хз, У2, Zy.....2„)

(y = 1, 2; s= 1, 2.....n),

где коэффициенты pi таковы, что уравнение

\Psi-i9\ =

.(95.1)

) См. примечание в конце книги (стр. 530).

) Малкин И. Г., Решение некоторых критических случаев задачи устойчивости движения. Прикл. матем. и мех., т. XV, вып. 5, 1951.

с-произвольная постоянная, а - периодические функции периода 2я. Для определения получаем уравнения (94.29), из которых эти функции последовательно определяются при помойки квадратур. Функции ф лишь только в особо исключительных случаях будут все получаться периодическими. Оставляя в стороне этот случай, допустим, что ф, является первой непериодической функцией в ряду фд, Фз, ... Эта функция будет необходимо иметь вид (94.30). Тогда, если gO > О, то невозмущенное движение неустойчиво, а при g"0 < О оно устойчиво асимптотически.

Доказанная теорема охватывает все случаи, кроме тех, при которых форма О не является знакоопределенной, а форма Р обращается в нуль на некоторых прямых, определяемых уравнением (94.9), но ни на одной из этих прямых она не может принимать положительных значений. В этих случаях, так же как и в случае 4°, задача не решается формами А" и к" в уравнениях (94.32), а требует рассмотрения членов более высоких порядков. На этих случаях мы здесь не останавливаемся ).

§ 96. Критический случай двух пар чисто мнимых корней для установившихся движений ).

Рассмотрим систему (и--4)-го порядка с постоянными коэффициентами, для которой характеристическое уравнение первого приближения имеет две пары чисто мнимых корней ± Xi к ± и п корней с отрицательными вещественными частями. Мы будем предполагать, что отношение -г иррационально. Подходящим выбором переменных эту систему можно представить в виде dxj

- Xjixj + Xjixp у,, хз. Уз, 2;.....2„).



имеет корни только с отрицательными вещественными частями. Функции Xj, Yj, Zj, как обычно, предполагаются аналитическими с разложениями, начинающимися членами не ниже второго порядка.

Наряду с системой (95.1) рассмотрим «укороченную» систему

- = ljlXj+Xj(Xi, У1. Х2, У2. «1.

dyj dt

Xjiyj+YjiXi, У1. X, У2. «1,

(7=1, 2),

(95.2)

где и{Хх, ур Х2, У2)-ряды по степеням переменных х, ур Х2, У2. не имеющие свободных членов и представляющие формальные решения уравнений с частными производными:

S [-Й V/-by(i yv Х2, У2. «1. «„) +

- - hyj+YiiXi, У1, Х2, У2. «1. «„)

= ••• -f s„к„ + a,Xl + p,Уl + YЛ + M2 +

-Z,(лrl, У1, X2. У2. «1. ...

(s=l, 2.....re).

Пусть Х1"\ к/" - формы m-го порядка переменных Хр Х2, У2. представляющие, соответственно, члены т-го порядка в правых частях уравнений ((95.2). Рассмотрим систему

.I.ix. + Xf ... -1->- + фД. X,, у,, Х2, У2).

-t- = -b% + K?4 ... +yf+%{t. х„ у, X, У2)

(7=1. 2),

где Л/ - сколь угодно большое целое число, а фу и фу - зависящие от t аналитические функции переменных лг у Х2, У2. удовлетворяющие при всех >-0 В некоторой окрестности начала координат условиям

фу(, Х„ Ур Х2, y2)\<A{\Xi\ + \y,\ + \X2\ + \y2\f-\ [ фу(Л Х„ у„ Х2, y2)\<A[\Xi\ + \yi\ + \X2\ + \y2\f> 1

где Л - некоторая постоянная. Если невозмущенное движение лГ; = = yj == 2 = У2 = О для системы (95.3) будет устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво при любом выборе функций



q>j и фу, то согласно § 93 невозмущенное движение = yj = = = У2- Zi= ... =z„ = 0 для системы (95.1) будет также соответственно, устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво. Таким ббразом, задача сводится к исследованию системы (95.3).

Заметим прежде всего, что переменные Xj и у, являются комплексно сопряженными. Поэтому вторая группа уравнений (95.3) может быть получена из первой заменой / на - i, Xj на уу, у- на Xj. Этим обстоятельством мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.

Введем теперь в уравнения (95.3) вместо переменных Хр ур

Xj, У2 переменные Vy,

Xj=U.-uf(Uy Vy y=.V.Vf{u, Vy u.

г»2 при помощи подстановки

2)+ ••• +f4"i 1: "2- 2)

(/=1. 2)

(95.5)

где и<у"(«1, Wj, и, -yj) и vp>{Uy v, м- 2)-некоторые подлежащие определению формы т-то порядка переменных И[, Vp и. v. Эти формы мы постараемся подобрать таим образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид

2-(Л-1)

dui VI

Uf\u, Vp Из, г)2) + Ф/(, uVp щ, v.

dVj ~dt

2-(Л-1)

(/=1. 2).

(95.6)

Здесь функции Фу и Чу начинаются членами не ниже (A-f-l)-ro порядка (число N предполагаем нечетным), U\\up г»), «2, V2) и t "(t»i, И[, 2. М2) - формы т-то порядка переменных Vp U2, г»2. Черта над буквой обозначает комплексную сопряженность, так что

формы t/y"(t»i, И[, г»2, М2) получаются из f "(и 2, 2) заменой /на - /, Uj на г»у и г»у на «у, т. е. если

Uf («,, г»,. «2. 2) = 2 f" "-«ГГ=«22 (95.7) (У=1, 2; /И] -j- /2+«1 + «2 =

б/Чг»!. «1. г»2, «2) = 2 Г" "vTuTvlui (95.8) (7=1, 2; Ml + 2 4- «1 «2 =



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [138] 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014