Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [139] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

В=2 а=1

и + f/<?) + . . .) j = Xji (uj uf+...) +

+ f(«i+........3+-..)+--- (7 = 1.2). (95.12)

Формы ир\ кроме того, таковы, что

= О, если («1 - nf + imx ~ т- \f Ф 0; j

(m„ m„ „„ „,) Q g 2 („ - «2 - l) Ф 0,

так что из всех коэффициентов л!"*" "" отличными от нуля

являются лишь те, для. которых одновременно - «2 и гп - /2= 1,

а из коэффициентов Лг"*" "" отличными от нуля будут лишь те, для которых одновременно /И) =/2, - n-l-.

Мы сейчас покажем, что эти условия могут быть удовлетворены и что они определяют как формы ир, vp, так и коэффициенты

лу"" причем все эти величины определяются крайне про-

стыми вычислениями, так как для каждого коэффициента форм up,v(r1 и для каждого коэффициента Л"*" получится линей-

ное алгебраическое уравнение с одной неизвестной.

Заметим прежде всего, что, как показывают уравнения (95.6), вторая группа этих уравнений должна получиться (по крайней мере, с точностью до членов Л-го порядка) из первой группы заменой i на -i, Uj на Vj, Vj на Uj, т. е. переменные Uj и Vj должны получиться комплексно сопряженными. Так как такими же свойствами обладают и исходные уравнения (95.3), то должно быть viu, v,

щ, v<~ up {v, Ир U2), т. е. если

= S Вр "uvulv (95.10)

(7=1, 2; т2 + й,+«2= »i),

то

vp = 2 5f""-ГГ"? (95.11)

(7=1, 2; m2 + «i+ «2= ")-

Если при выполнении этих условий удастся подобрать преобразование (95.5) так, чтобы первая группа уравнений (95.6) имела требуемый вид, то требуемый вид будет иметь также и вторая группа этих уравнений.

Заменяя в первой группе уравнений (95.3) Xj и уу их выражениями (95.5) и принимая во внимание (95.6), получим:

N 2 ( (Р)

ijiuj ч- + • • +2 211 ""+°+••)+



Задавшись произвольным числом т <N, приравняем в обеих частях полученных уравнений коэффициенты при uvшv\ где

OTi-f-»г--й-{-«2-Тогда, принимая во внимание (95.7), (95.8), (95.10) и (95.11), мы получим для определения коэффициентов

Bf• следующие уравнения:

{{т, - т) К + («1 - «2) >-2 - j] +

+ aAf" = с/"" (95.13)

где а = 0 при т четном и а=1 при т нечетном.

Здесь с/""- целые рациональные функции от тех коэффициентов Af" и вТ" (и комплексно сопряженныг с ними величин), для которых тг-\-т--Пг-\-П2< т. Допустим, что все эти коэффициенты уже определены и, следовательно, величины Су""известны. Тогда будем различать два случая. Первым из них будет тот, когда при 7=1 одновременно выполняются

условия ?Ki = /ra2-j-l, Й1 = Й2 3 при /=2 - условия ОТ = ?К2,

/г1 = Й2+1- Этот случай возможен лишь при т нечетном. В первом случае коэффициент при в""""""" в уравнении (95.13) обращается в нуль, и мы получим вполне определенное значение для Л/" ""*:

Коэффициент в/"" остается произвольным, и мы его можем

положить равным нулю.

Во втором случае вышеуказанные условия относительно индексов

не выполняются. В этом случае коэффициент при В/"" в урав-

нении (95.13) не обращается в нуль, так как, по условию, отношение Я,1/Я,2 является числом иррациональным. Мы можем тогда положить

л (mi, тг, «ь "а) . п о(т„ mj, Oi, Лз) [

- (ml-m2)Я, + (/г,-/г2)Л2-Л/ Ecли теперь учесть, что при т. = 1 коэффициенты Cf" являются известными величинами, то из вышесказанного вытекает, что мы можем действительно определить преобразование (95.5), приводящее систему (95.3) к виду (95.6), причем лля коэффициентов форм Uj){Up Vp щ, г»2) будут выполняться условия (95.9). Само определение преобразования, как мы сейчас видели, чрезвычайно просто и сводится к составлению уравнений (95.13), что требует лишь развертывания левых и правых частей уравнений (95.12).



Рассмотрим подробнее преобразованные уравнения. Очевидно, прежде всего, что функции Фу и удовлетворяют при всех >0 и при значениях Uj к Vj, достаточно малых, неравенствам

Щ, Vi, «2. 2)<fi{«i-bfiH-«2i + f2ir + 4 >Ру(Л «1, Vi, «2. V2)<B\\Ui\ + \v,\-\U2\ + \V2\]

(95.14)

где В-некоторое положительное число. Положим теперь

Иу = ру (cos -f-/ sin &у), fy = Py (cos Оу-Ismbj) (95.15)

(7=1. 2),

где pi, Pj, &1 и #2-новые переменные. Тогда, принимая во внимание (95.7), (95.8) и (95.9), легко найдем, что уравнения (95.6) примут вид

dpj rf*

+ е-»УФу( Pie*-. .

Р2 +

-df - f>J4f = - А S "Р!"

+ е»УЧу(Л Pie»., . (7=1, 2; mi-f/га2 + «1 + Й2 = 3, 5.....Л).

Полагая

Р2е-*)

и выделяя вещественные и мнимые части, получим две группы уравнений

Jap"-""yx""pr" + Rj(t. 1, Pi, Р2)

(7=1, 2; mi-f/ra2-i-rti-i-«2==3, 5.....УУ)

p>=pA.+S*"" "рГ">2"+9у ( 1, 2. Pi. Р2)

(7-1, 2; /га1 + ОТ2--Й1 +«2=3, 5, .... Л).

Здесь функции Rj, 9у, очевидно, таковы, что при всех ty>0, при всех значениях &i, &2 и при достаточно малых значениях pi и рз выполняются неравенства

(95.16)

\Rj(t. 1. 2. Pi. Р2)1 <C{piH-p2l+i

9у(, , 2. Pi. Р2)1 <C{Pi + lp2l

где С-положительная постоянная.

Af + 1 \



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [139] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0427