В=2 а=1

и + f/<?) + . . .) j = Xji (uj uf+...) +

+ f(«i+........3+-..)+--- (7 = 1.2). (95.12)

Формы ир\ кроме того, таковы, что

= О, если («1 - nf + imx ~ т- \f Ф 0; j

(m„ m„ „„ „,) Q g 2 („ - «2 - l) Ф 0,

так что из всех коэффициентов л!"*" "" отличными от нуля

являются лишь те, для. которых одновременно - «2 и гп - /2= 1,

а из коэффициентов Лг"*" "" отличными от нуля будут лишь те, для которых одновременно /И) =/2, - n-l-.

Мы сейчас покажем, что эти условия могут быть удовлетворены и что они определяют как формы ир, vp, так и коэффициенты

лу"" причем все эти величины определяются крайне про-

стыми вычислениями, так как для каждого коэффициента форм up,v(r1 и для каждого коэффициента Л"*" получится линей-

ное алгебраическое уравнение с одной неизвестной.

Заметим прежде всего, что, как показывают уравнения (95.6), вторая группа этих уравнений должна получиться (по крайней мере, с точностью до членов Л-го порядка) из первой группы заменой i на -i, Uj на Vj, Vj на Uj, т. е. переменные Uj и Vj должны получиться комплексно сопряженными. Так как такими же свойствами обладают и исходные уравнения (95.3), то должно быть viu, v,

щ, v<~ up {v, Ир U2), т. е. если

= S Вр "uvulv (95.10)

(7=1, 2; т2 + й,+«2= »i),

то

vp = 2 5f""-ГГ"? (95.11)

(7=1, 2; m2 + «i+ «2= ")-

Если при выполнении этих условий удастся подобрать преобразование (95.5) так, чтобы первая группа уравнений (95.6) имела требуемый вид, то требуемый вид будет иметь также и вторая группа этих уравнений.

Заменяя в первой группе уравнений (95.3) Xj и уу их выражениями (95.5) и принимая во внимание (95.6), получим:

N 2 ( (Р)

ijiuj ч- + • • +2 211 ""+°+••)+

Задавшись произвольным числом т <N, приравняем в обеих частях полученных уравнений коэффициенты при uvшv\ где

OTi-f-»г--й-{-«2-Тогда, принимая во внимание (95.7), (95.8), (95.10) и (95.11), мы получим для определения коэффициентов

Bf• следующие уравнения:

{{т, - т) К + («1 - «2) >-2 - j] +

+ aAf" = с/"" (95.13)

где а = 0 при т четном и а=1 при т нечетном.

Здесь с/""- целые рациональные функции от тех коэффициентов Af" и вТ" (и комплексно сопряженныг с ними величин), для которых тг-\-т--Пг-\-П2< т. Допустим, что все эти коэффициенты уже определены и, следовательно, величины Су""известны. Тогда будем различать два случая. Первым из них будет тот, когда при 7=1 одновременно выполняются

условия ?Ki = /ra2-j-l, Й1 = Й2 3 при /=2 - условия ОТ = ?К2,

/г1 = Й2+1- Этот случай возможен лишь при т нечетном. В первом случае коэффициент при в""""""" в уравнении (95.13) обращается в нуль, и мы получим вполне определенное значение для Л/" ""*:

Коэффициент в/"" остается произвольным, и мы его можем

положить равным нулю.

Во втором случае вышеуказанные условия относительно индексов

не выполняются. В этом случае коэффициент при В/"" в урав-

нении (95.13) не обращается в нуль, так как, по условию, отношение Я,1/Я,2 является числом иррациональным. Мы можем тогда положить

л (mi, тг, «ь "а) . п о(т„ mj, Oi, Лз) [

- (ml-m2)Я, + (/г,-/г2)Л2-Л/ Ecли теперь учесть, что при т. = 1 коэффициенты Cf" являются известными величинами, то из вышесказанного вытекает, что мы можем действительно определить преобразование (95.5), приводящее систему (95.3) к виду (95.6), причем лля коэффициентов форм Uj){Up Vp щ, г»2) будут выполняться условия (95.9). Само определение преобразования, как мы сейчас видели, чрезвычайно просто и сводится к составлению уравнений (95.13), что требует лишь развертывания левых и правых частей уравнений (95.12).

Рассмотрим подробнее преобразованные уравнения. Очевидно, прежде всего, что функции Фу и удовлетворяют при всех >0 и при значениях Uj к Vj, достаточно малых, неравенствам

Щ, Vi, «2. 2)<fi{«i-bfiH-«2i + f2ir + 4 >Ру(Л «1, Vi, «2. V2)<B\\Ui\ + \v,\-\U2\ + \V2\]

(95.14)

где В-некоторое положительное число. Положим теперь

Иу = ру (cos -f-/ sin &у), fy = Py (cos Оу-Ismbj) (95.15)

(7=1. 2),

где pi, Pj, &1 и #2-новые переменные. Тогда, принимая во внимание (95.7), (95.8) и (95.9), легко найдем, что уравнения (95.6) примут вид

dpj rf*

+ е-»УФу( Pie*-. .

Р2 +

-df - f>J4f = - А S "Р!"

+ е»УЧу(Л Pie»., . (7=1, 2; mi-f/га2 + «1 + Й2 = 3, 5.....Л).

Полагая

Р2е-*)

и выделяя вещественные и мнимые части, получим две группы уравнений

Jap"-""yx""pr" + Rj(t. 1, Pi, Р2)

(7=1, 2; mi-f/ra2-i-rti-i-«2==3, 5.....УУ)

p>=pA.+S*"" "рГ">2"+9у ( 1, 2. Pi. Р2)

(7-1, 2; /га1 + ОТ2--Й1 +«2=3, 5, .... Л).

Здесь функции Rj, 9у, очевидно, таковы, что при всех ty>0, при всех значениях &i, &2 и при достаточно малых значениях pi и рз выполняются неравенства

(95.16)

\Rj(t. 1. 2. Pi. Р2)1 <C{piH-p2l+i

9у(, , 2. Pi. Р2)1 <C{Pi + lp2l

где С-положительная постоянная.

Af + 1 \