значения, каковы бы ни были значения переменных д. В частности, это будет также иметь место и при qi=...=q„ = 0. Отсюда следует, что форма

(14.2)

будет определенно-положительной. Рассмотрим теперь функцию

И составим ее полную производную по времени в силу уравнений (14.1). Будем иметь:

dV dt

s = \

dPs

\л дН

s = l S, а, Р = 1 s=l

ИЛИ, применяя теорему Эйлера об однородных функциях,

л / л , . \

dV dt

a, p=l \

0,0=1

s = l

PaPb +

-4-{m,-4-(m-4-l)t/,+i+--

(14.3)

Выражение, стоящее в первой скобке формулы (14.3), будет на основании леммы 3 § 7 определенно-положительной функцией относительно Pj, р„, так как форма (14.2) определенно-положительна, а коэффициенты

обращаются в нуль при q--...=q = Q, и следовательно, в достаточно малой окрестности начала координат они сколь угодно малы. Выражение, стоящее во второй скобке формулы (14.3), на основании леммы 4 § 7 является определенно-положительной функцией переменных q-y.....q , так как форма U„ по условию определенно-поло-

жительна. Следовательно,

является определенно-положительной

функцией всех 2п переменных q, р. С другой стороны, сама функция У является, очевидно, знакопеременной. Таким образом, V удо-

влетворяет всем условиям теоремы В, и поэтому исследуемое положение равновесия неустойчиво.

Итак, мы получили следующую теорему, принадлежащую Ляпунову:

Если в положении равновесия силовая функция имеет минимум и это определяется совокупностью членов наинизшего порядка в разложении этой функции, то равновесие неустойчиво.

Приведенное доказательство лишь незначительно отличается от классического доказательства Ляпунова.

§ 15. Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Докажем еще одну теорему Ляпунова о неустойчивости.

Теорема Г. Если существует функция V такая, что ее полная производная по t в силу уравнений возмущенного движения имеет в области (13.1) вид

= W-\-W{x,.....X,), (15.1)

где X - положительная постоянная, а W или тождественно обращается в нуль или представляет собой знакопостоянную функцию, и если в последнем случае функция V не является знакопостоянной, знака, противоположного с W, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Допустим для определенности, что функция W положительна. Тогда из (15.1) получаем:

4г> (15.2)

Так же как и при доказательстве теоремы В, выберем начальные (при t = t значения л; решения л;(/) таким образом, чтобы одновременно выполнялись неравенства

\х1\<У\, V{x\.....хО)>0,

где т] сколь угодно малое положительное число. Покажем, что это решение необходимо покидает в некоторый момент времени область (13.1). Допустим противное: что неравенства (13.1) все время выполняются. Тогда все время будет выполняться неравенство (15.2)

и, поскольку V{x\, ..., л;°) положительно, производная будет все

время оставаться положительной и, следовательно, К [л;, {t).....x„{t)\

будет функцией возрастающей. Но тогда из (15.2) находим:

4>ЯК[х,(0. xAt)\>XV{x\.....xl)

и, следовательно,

что невозможно, так как в области (13.1) функция V ограничена. Таким образом, для рассматриваемого решения неравенства (13.1) необходимо нарушаются, что и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.

§ 16. Геометрическая интерпретация теоремы В. Теорема Н. Г. Четаева.

Теорема В, так же как и теоремы А и Б, допускает простое геометрическое истолкование.

Примем для простоты, что « = 2, и рассмотрим сначала тот случай, когда функция V не является знакоопределенной. В этом случае кривая V = Q имеет одну (рис. 4) или несколько (рис. 5) вещественных ветвей, проходящих через начало координат.

Рис. 4.

Рис. 5.

Допустим, что производная определенно-положительна. По

условию теоремы в окрестности начала координат необходимо существует, по крайней мере, одна область, где К > 0. Эти области, очевидно, ограничены кривыми V = 0. Пусть на фиг. 4 и 5 сектор АОВ представляет одну из этих областей и допустим, что пунктирные линии обозначают кривые V = с > О, заполняющие эту область.

Рассмотрим интегральную кривую MP, выходящую из произвольной точки М границы области. Эта точка может быть взята сколь

угодно близко от начала координат. Так как > О, то эта инте-