Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

значения, каковы бы ни были значения переменных д. В частности, это будет также иметь место и при qi=...=q„ = 0. Отсюда следует, что форма

(14.2)

будет определенно-положительной. Рассмотрим теперь функцию

И составим ее полную производную по времени в силу уравнений (14.1). Будем иметь:

dV dt

s = \

dPs

\л дН

s = l S, а, Р = 1 s=l

ИЛИ, применяя теорему Эйлера об однородных функциях,

л / л , . \

dV dt

a, p=l \

0,0=1

s = l

PaPb +

-4-{m,-4-(m-4-l)t/,+i+--

(14.3)

Выражение, стоящее в первой скобке формулы (14.3), будет на основании леммы 3 § 7 определенно-положительной функцией относительно Pj, р„, так как форма (14.2) определенно-положительна, а коэффициенты

обращаются в нуль при q--...=q = Q, и следовательно, в достаточно малой окрестности начала координат они сколь угодно малы. Выражение, стоящее во второй скобке формулы (14.3), на основании леммы 4 § 7 является определенно-положительной функцией переменных q-y.....q , так как форма U„ по условию определенно-поло-

жительна. Следовательно,

является определенно-положительной

функцией всех 2п переменных q, р. С другой стороны, сама функция У является, очевидно, знакопеременной. Таким образом, V удо-



влетворяет всем условиям теоремы В, и поэтому исследуемое положение равновесия неустойчиво.

Итак, мы получили следующую теорему, принадлежащую Ляпунову:

Если в положении равновесия силовая функция имеет минимум и это определяется совокупностью членов наинизшего порядка в разложении этой функции, то равновесие неустойчиво.

Приведенное доказательство лишь незначительно отличается от классического доказательства Ляпунова.

§ 15. Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Докажем еще одну теорему Ляпунова о неустойчивости.

Теорема Г. Если существует функция V такая, что ее полная производная по t в силу уравнений возмущенного движения имеет в области (13.1) вид

= W-\-W{x,.....X,), (15.1)

где X - положительная постоянная, а W или тождественно обращается в нуль или представляет собой знакопостоянную функцию, и если в последнем случае функция V не является знакопостоянной, знака, противоположного с W, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Допустим для определенности, что функция W положительна. Тогда из (15.1) получаем:

4г> (15.2)

Так же как и при доказательстве теоремы В, выберем начальные (при t = t значения л; решения л;(/) таким образом, чтобы одновременно выполнялись неравенства

\х1\<У\, V{x\.....хО)>0,

где т] сколь угодно малое положительное число. Покажем, что это решение необходимо покидает в некоторый момент времени область (13.1). Допустим противное: что неравенства (13.1) все время выполняются. Тогда все время будет выполняться неравенство (15.2)

и, поскольку V{x\, ..., л;°) положительно, производная будет все

время оставаться положительной и, следовательно, К [л;, {t).....x„{t)\

будет функцией возрастающей. Но тогда из (15.2) находим:

4>ЯК[х,(0. xAt)\>XV{x\.....xl)



и, следовательно,

что невозможно, так как в области (13.1) функция V ограничена. Таким образом, для рассматриваемого решения неравенства (13.1) необходимо нарушаются, что и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.

§ 16. Геометрическая интерпретация теоремы В. Теорема Н. Г. Четаева.

Теорема В, так же как и теоремы А и Б, допускает простое геометрическое истолкование.

Примем для простоты, что « = 2, и рассмотрим сначала тот случай, когда функция V не является знакоопределенной. В этом случае кривая V = Q имеет одну (рис. 4) или несколько (рис. 5) вещественных ветвей, проходящих через начало координат.


1 \/ -

Рис. 4.

Рис. 5.

Допустим, что производная определенно-положительна. По

условию теоремы в окрестности начала координат необходимо существует, по крайней мере, одна область, где К > 0. Эти области, очевидно, ограничены кривыми V = 0. Пусть на фиг. 4 и 5 сектор АОВ представляет одну из этих областей и допустим, что пунктирные линии обозначают кривые V = с > О, заполняющие эту область.

Рассмотрим интегральную кривую MP, выходящую из произвольной точки М границы области. Эта точка может быть взята сколь

угодно близко от начала координат. Так как > О, то эта инте-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0088