Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 [140] 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Если невозмущенное движение pi = p2=:0 для уравнений (95.16), в которых &1 и &2 рассматриваются как произвольные функции времени, устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво при любом выборе функций Rj, удовлетворяющих условиям (95.17), то по характеру преобразования (95.15) то же самое будет иметь место и для невозмущенного движения jCj = У) = л:2 = У2 = О уравнений (95.3) при любом выборе функций фу и фу, удовлетворяющих условиям (95.4). Справедливо, очевидно, и обратное соотношение между системами (95.3) и (95.16). Поэтому задача сводится к исследованию на устойчивость системы второго порядка (95.16).

Обращаясь к последней, замечаем, что она представляет некоторый частный случай задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, и для решения ее мы можем воспользоваться полученными в этом параграфе результатами. Запишем с этой целью уравнения (95.16) в виде

=/?Г(Р1. Р2) + /?ГР,. Р2)+ Р2) +

+ Rjit, 2. Pi. Р2) (95.18) (У=П 2),

где /гаЗ {т - нечетное), а Rf - формы k-vo порядка переменных pi и р2. При этом, принимая во внимание (95.9), мы можем писать:

= л„,рГ+ л„ 2рГ-Р2Ч.. .+А,р,рГ.

где Ag и fig - некоторые постоянные.

Составляя далее формы/(pj, рз) и 0(pi, P2) (§ 94), будем иметь:

/(Pi. P2) = PiM" + P2M"-

= л„рГЧ(.-2+51)рГр1+... +в„,рГ

G(Pi. P2) = Pi/?r-p2M" =

= Р1Р2 [(1 - m) рГ-Ч (В, - л„ 2) рГ-pi + ...+(fi, - ло Р2"-].

в рассматриваемом случае G никогда не будет знакоопределенной. При этом уравнение G = 0 выполняется для осей координат Pi = P2 = 0 и прямых, определяемых уравнением

G* (Pi, Р2) = (Bi - m)рГ~ + (5з - Л„ 2)рГ~р2 + • • +

-(fi„-Лl)p2"- = 0. (95.19)

На осях координат Pi = 0 и р2 = 0 форма Р принимает соответственно значения fip" и Apf Поэтому на основании теоремы



dt dy dt

где a и b - постоянные, a / и F-аналитические функции своих

dx dv

аргументов, разложения которых по степеням х, у, -щ-,

) Этот критический случай рассмотрен впервые в работе Г. В. Каменкова, цитированной на стр. 411, который также приводит задачу к случаю двух нулевых корней. Однако предложенный Г. В. Каменковым метод решения задачи требует проведения большого числа предварительных преобразований, каждое из которых приводит к очень громоздким вычислениям.

предыдущего параграфа невозмущенное движение будет неустойчиво, если хотя бы одна из величин положительна. Если ЛО

и ВО, то невозмущенное движение будет неустойчиво, если хотя бы на одной из вещественных прямых, определяемых уравнением (95Л 9), форма Р может принимать положительные значения. Напротив, если на каждой такой вещественной прямой форма Р может принимать только отрицательные значения и если при этом А„ < О, < О, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически. Если форма Р обращается в нуль либо при Pi = О (т. е. fi = 0), либо при Р2 = 0 (т. е. Л = 0), либо на одной из прямых (95.19) и если при этом ни на одной из прямых (95.19) или осях координат она не может принимать положительных значений, то решение задачи требует рассмотрения в уравнениях (95.18) членов порядков более высоких, чем т. На этих исключительных случаях мы здесь не останавливаемся.

В тех случаях, которые мы сейчас рассмотрели, задача решается членами наинизшего порядка в уравнениях (95.18). Следовательно,

коэффициенты Лу""" нужно вычислять до тех пор, пока мы не придем к некоторому порядку т, для которого не все величины Re(л{""равны нулю при mi + ms-j-rti+ «2= "I- Может случиться, что все величины ie (л*у""обращаются в нуль, как бы велико ни было число /raj-j-/ra2--i+ 2- Этот исключительный случай, при котором задача устойчивости вообще не решается конечным числом членов, как и все другие аналогичные случаи, здесь не рассматривается.

Таким образом, мы получили решение задачи устойчивости для рассматриваемого критического случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет две пары чисто мнимых корней 1).

Пример. Пусть предложена система четвертого порядка



начинаются членами не ниже третьего порядка. Полагая

i dx i dx

/ dy

приведем данную систему к виду

, 1 dy У2 = У+ЧГ

dx, dt

У2) +

-Xl)\

= iL0X2 +Щчхх,

У2) +

- Х2)\

dy, dt

= - iky I - (У1,

2) +

al? Ы

-yif.

dyi dt

~ - гсоуа - гфз (ур

2) +

b<s? 8А,

~У2?.

(95.20)

где ф] и Фз- вещественные аналитические функции своих аргументов, разложения которых начинаются членами не ниже третьего порядка. Делаем далее подстановку (95.5), в которой можно положить ufp = vj==0, так как правые части уравнений (95.20) не содержат членов второго порядка. Таким образом, полагаем:

„(3) /

Xj = Uj+u)(Ui, г»!. Из, г)2)+.... yj = v-+vf(up Из, г»з)+... С/-=1.2).

vf = 2 ВГ" "• "MuTv-u U==l, 2; +Отз + й1 + йз = 3).

(95.21)

(95.22)

Подстановку (95.21) подбираем таким образом, чтобы уравнения приняли вид (95.6) с соблюдением условий (95.9), так что можно положить:

du, ~Ж

dUi ЧГ

= to«3 + a2«2t»2 + P2«,«2f,4-= - iV, + au + Fiif2«2 +

(95.23)

где a,, 02, Pi, P2-подлежащие определению постоянные и ненаписанные члены имеют порядок не ниже четвертого.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 [140] 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.01