Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 [141] 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Подставляя в первое уравнение (95.20) вместо jCi, у У2 их

dut dvi

значения из (95.21), заменяя при этом производные -щ-, -щ~ их выражениями (95.23) и приравнивая члены третьего порядка, получим:

duf> ci«f duf a«f

aulv, + Pj«j«22 + «1 -ЩГ--1 + «"2-1 -1<2 =

= ilaf + /9f) («1, v, v) + (tl - (95-24)

где ф - совокупность членов третьего порядка в функции ф,. Приравнивая в обеих частях (95.24) коэффициенты при u\v и uuv, учитывая при этом (95.22), найдем:

ах + (2а - IX) Bf • °= IXBf- + /а, + igl.

р,+(/X+- to) В/ = asi" + ibx.

Здесь «1 и - вещественные числа, представляющие собой коэффициенты при MtJj и «i«22 функции (Px(Uy v, u, v. Анзлогич-ным образом находим:

где «2 и >2-коэффициенты при u\v2 и uuv. в функции Ф2(и1. fj, г»2).

Делая теперь подстановку (95.15), окончательно найдем:

rip, ЗаЯз 3 dp; Збщз ,

Л ~ 8© Pi ---- Л ~~ 8А, Р2 "Т- • • >

где ненаписанные члены имеют порядок не ниже четвертого. Отсюда сразу следует, что если хотя бы один из коэффициентов а или b положителен, то невозмущенное движение неустойчиво. Если же оба коэффициента отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически.

§ 96. Критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней для установившихся движений).

Рассмотрим теперь систему {п-\-Ъ)-то порядка с постоянными коэффициентами, для которой характеристическое уравнение первого

1) См. Малкин И. Г., Решение некоторых критических случаев задачи устойчивости движения. ПММ, т. XV, вып. 5, 1951.

Эта задача также впервые рассматривалась Г. В. Каменковым. Предлагаемый ниже метод отличается от метода Г. В. Каменкрва и приводит К значительно более простым вычислениям-



приближения имеет один нулевой корень, два чисто мнимых корня +ik и п корней с отрицательными вещественными частями.

Подходящим выбором переменных рассматриваемые уравнения могут быть представлены в следующем виде:

:Х(х, х„ у„ zi.....

dt dx, If

ds dt

:ikxi-Xi(x, Xi, У1. Zi.....г„),

:--ayi-Ki(x, Xi, У1, Zi.....z„).

+ Z,(X, Xi, У1, Zp .... z„)

(S=: 1, 2, . . ., n),

где разложения функций X, Xp У\, начинаются членами не ниже второго порядка, а коэффициенты pj таковы, что уравнение

VI = О

имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

Пользуясь методом § 93, мы можем привести задачу к исследованию системы третьего порядка вида

dx dt dx,

==Xix, хр yi)-+ ...+Х"(х, Хр У1) + ф(/, x,xi,y,),

""ilXi-XfX, Хр yi) + . . . +;Г(Х, Хр у,) +

(96.1)

+ Ф1(/, X, Хр уО, j = -ay,+ Vf(x, х,, yi)+ ... +С(х, X,, у,) +

+ X, Хр yi),

где А"**, xf и Kf - формы й-го порядка переменных х, Хр у, а ф, ф1 и ifi - зависящие от t аналитические функции переменных х Х[, Ур удовлетворяющие при всех в окрестности начала коор-

динат неравенствам

,N+1

Ф(/, X, Xi, уО! <А[\х\ + \х,\-г\уа Ф1(. X, Хр у,)! <Л{х! + х, + у,)+\ 11 X, Хр yi)< Л{х! + х,Ц-у,)+.

(96.2)

При этом переменные Xj и yi являются комплексно сопряженными, так что третье уравнение (96.1) может быть получено из второго



заменой i на -/, Xj на и у, на Xj. Первое уравнение (96.1) при такой замене не изменяется.

Преобразуем теперь уравнения (96.1) при помощи подстановки

Х==М + М(2)(И, Мр Vx)-j- ... +м(л-)(„ и. Vx),

x,Mj + Mf (й, и, ... +Mf(м, Мр у), , (96.3)

y = z; + z;f («, Мр ... +<)(м. Мр г;),

где м(*), м(*, ytj** - подлежащие определению формы fe-ro порядка новых переменных м, йр Ур Эти формы мы постараемся подобрать таким образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид

=--U\u, Мр Vi)-\- ... +U\u, Мр z;i)+(, м, Мр v).

H-t/l(, М, Мр z>i).

--i = ai;, + Of>(«. «0+ ••• +t/r4«. 1. «0 +

+ V,{t, м, Мр

Здесь t/**, t/*\ t/** -формы fe-ro порядка переменных м, йр tip причем формы t/f* получаются из t/i** заменой i на - г, на г»! и г»! на йр Кроме того, формы t/*** и t/f* таковы, что если ввести обозначения

(96.4)

у(*) ;2(«,«„«й№

(96.5)

frt, т., т>) т., Wa)

И А\ ДОЛЖНЫ выполняться

(96.6)

(«+ mj-l- П12 = к),

то для коэффициентов Л соотношения

(«,«„m,)Q при т.Фт. («,m„m,)Q при mi=f mj+l.

Покажем, что формы м**), м** и г;**) в преобразовании (96.3) можно действительно выбрать так, чтобы для уравнений (96.4) выполнялись указанные условия. Положим с этой целью

{п-\- mi + m2 = fe).

Так как второе уравнение (96.4) должно перейти в третье (по крайней мере, с точностью до величин Л-го порядка) при замене /

(96.7)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 [141] 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0102