Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [142] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

на -/, к, на Ul и на и,, то должно быть:

= 2 i"Vt;r«r (л + т, + т2=-А). (96.8) При таком выборе форм г»**) третье уравнение (9().4) будет нужного вида, если только этим свойством будут обладать и первые два уравнения. Остается, таким образом, определить формы м(*) и иК Подставим с этой целью в первые два уравнения (96.1) вместо х, Хр yi их выражения (96.3). Тогда, принимая во внимание (96.4), получим:

+1;*"

= ХЧи+ .... «1+ .... v,+ ...)+ ....

ди, а=2 /

а=2 а=2

Задавшись каким-нибудь числом k <,N, приравняем в обеих частях полученных уравнений коэффициенты при uufV, где п-\- nti-\- = k. Будем на основании (96.6) и (96.7) иметь: д(п. т,. тг) - («, т„ m) («, т„

(96.9)

1) IXBi " = Cl"

Здесь с""jj "•"* -целые рациональные функции от тех

л (р. i. Ql)

91, ?2)

.га)

и комплексно сопряженных

с ними величин, для которых р-\-q\-\-q2 <. k. Допустим, что все указанные величины уже вычислены и, следовательно, величины

Q(n. m„ ™а) (<п, т„ т,) „звестны. ТОГДЗ прИ ф МЫ МОЖеМ

положить:

(л, ш„ Иг) Q (л, ""i. "2)

а при = 2 получим, что

(т, - Ота) iX

(л, m„ mj) (n, m„ m,)



а . . ~d -PЧГ

я+2т=1 N-l

.р/4 = -/Яр+ A\"">uY-U,it,U,pepe-%

а коэффициент Bf-" остается произвольным. Мы можем положить

его равным нулю или любой другой величине. Далее, при тФщ--Х мы можем положить:

(п. ш, т,) Q g(n. m,. -1-

(«1 - 2 - 1)

Если = 2 И- 1, то

(я, т„ т,) Q(n, m„ т)

а коэффициент М" " может быть выбран совершенно произвольно.

Так как при «+mi + m2 = 2 величины С<" известны, то отсюда следует, что действительно существует преобразование (96.3), обладающее всеми указанными для него свойствами. При этом легко видеть, что все коэффициенты л" будут веще-

ственными. Действительно, первое уравнение (96.1) не изменяется при замене i на -I, на у, и у, на лг,. Так как для преобразования (96.3) выполняется (96.8), то первое уравнение (96.4) не изменится при замене i на -/, на w на Uy Но так как (я, ra„m2) .Q jjpjj тфщ то первое уравнение (96.4) не меняется при замене на и на Uy. Следовательно, это уравнение не меняется при замене i па -/, откуда и вытекает вещественность :оэффициентов Л" Определение преобразования (96.3) при-

одится, как мы видим, к весьма простым вычислениям, сводящимся развертыванию правых и левых частей уравнений (96.9). Допустим, что указанное преобразование выполнено. Тогда функ-

1я и (t, и, Uy, Vi) в уравнениях (96.4) будет, очевидно, удовлетво-

1ть неравенству

\U(t, и, и„ v{)\<B[\u\ + \u,\ + \v,\f+\ (96.10)

г В - положительная постоянная. Таким же точно неравенствам 1ут удовлетворять и функции и У. Положим теперь:

а, = р (cos й--г sin й), = р (cos й - г sin й>. (96.11) Тогда получим:

= I; Л""-">аУ"+/(, а, рЛре-*).

я+2ш = 2



ИЛИ, выделяя вещественные и мнимые части и учитывая, что коэф-du

фициенты А" вещественны, получим два уравненр:

e-V + f/. р. а).

dp di

и уравнение

d di

Здесь

n+2m=2

= аС. ™+. ™)а«р2™+1р, и)

п+2т = \

(96.12)

т + 1, т) п Jim

л+2т=:1

(л, m + I, ™) je(i" "),

И функции /?, f/ при достаточно малых р и м и при всех значениях й и / О удовлетворяют условиям

WAt. . р. и) <С{р+а}+\ ) ggjg

/?(/, р, и)\ <С{р + а

где С - положительная постоянная.

Аналогичному условию удовлетворяет и функция 0(/, р).

Если невозмущенное движение а = р = 0 для уравнений (96.12), в которых Ь рассматривается как произвольная функция времени, будет устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво при любом выборе функций U, R, удовлетворяющих условиям (96.13), то невозмущенное движение x = Xi = yi = 0 для системы (96.1) будет, соответственно, устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво при любом выборе функций ф (t, х, Хр у{), ф; {t, х, Хр у, %(/, X, Хр yi), удовлетворяющих условиям (96.2). Но тогда такие же обстоятельства будут иметь место и для невозмущенного движения х = Xi = у1 = ... = 2„ = О исходной системы.

Таким образом, задача сводится к исследованию на устойчивость системы (96.12). Последняя задача является частным случаем задачи, рассмотренной в § 94, и для ее решения мы запишем уравнения (96.12) в виде

=и!\и, р)+ ... Р)+Л . и, р),

-If =/?(*)(«. р)+ ... -fр)+ /?(/. и, р).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [142] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0016