Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [143] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

1) М а л к и н И. Г., Решение некоторых критических случаев задачи устойчивости движения. ПММ, т. XV, вып. 5, 1951.

где /г 2 и U, - формы /-го порядка неременных мир. При

этом в силу (96.12) формы U содержат только четные степени р,

а формы - только нечетные степени р. Так что мы можем, в частности, писать:

/?(*)(«, 0) = 0.

Отсюда следует, что

0(м, р) = м/?*> -рМ*> = рО(м, р),

где О{и, р) - форма fe-ro порядка переменных м и р. Следовательно, форма О не является знакоопределенной. Невозмущенное движение будет неустойчиво, если существует хотя бы одна вещественная прямая О {и, р) = 0, на которой Р{и, р) может принимать положительные значения, и асимптотически устойчиво, если на всех вещественных прямых 0 = 0 форма Р может принимать только отрицательные значения. Все это будет справедливо при любом выборе функций L/ и и число N можно будет положить равным k.

Случаи, когда ни на одной из вещественных прямых, определяемых уравнением 0 = 0, форма Р не может принимать положительных значений, но на некоторых из них может обращаться в нуль, мы здесь не рассматриваем. Мы не рассматриваем также и тех исключительных случаев, когда все формы U\ /?*\ как бы велико ни было число fe, обращаются тождественно в нуль, что будет иметь

место тогда, когда все величины Л" и а" равны нулю.

В этих случаях задача устойчивости не решается, очевидно, конечным числом членов в уравнениях возмущенного движения.

§ 97. Критические случаи периодических движений. Приведение к установившимся движениям).

Мы переходим к исследованию критических случаев периодических движений. Допустим, что предложена система («--fe)-ro порядка с периодическими коэффициентами, для которой уравнения первого приближения имеют п характеристических показателей с отрицательными вещественными частями и k характеристических показателей с вещественными частями, равными нулю. Мы будем предполагать, что переменные выбраны таким образом, что первое приближение имеет постоянные коэффициенты и в нем разделены критические и некритические переменные. Таким образом, уравнения возмущенного



(97.1)

••• +ЛЛ + „У1+ ... +г,у,+

+ X{t, у,.....у. х,.....х„)

и= 1, 2.....ft; s= 1. 2.....«).

Здесь Yj и А-аналитические функции переменных у, и х, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка. Эти функции зависят также от t, по отношению к которому они периодичны с периодом со. Коэффициенты qji, pi и ri являются постоянными, причем уравнение

имеет корни только с отрицательными вещественными частями, а Bie корни уравнения

\Ял-(>л\=0 (97.2)

имеют вещественные части, равные нулю.

Согласно теореме 2 § 93 ответ на задачу устойчивости для системы (97.1) совпадает с ответом на ту же задачу для системы ft-ro порядка

= 9пУ1+ •.• +Я1кУк + У1( Ух.....У к «I.....«„). (97.3)

где uit, у1.....Уй) - ряды по степеням yj.....у с периодическими коэффициентами, являющиеся формальными решениями уравнений с частными производными (93.3). Это будет, однако, справедливо лишь в том случае, когда задача устойчивости для системы (97.3) решается конечным числом членов.

Мы будем предполагать, что переменные у, выбраны таким образом, что линейная часть уравнений (97.3) имеет каноническую форму, так что

9lI = I 922 = -2.....Якк = к Я2Х=Щ 9з2 = °2> •••

• • • Яп, п-1~п-Х

а остальные коэффициенты qij равны нулю. Здесь А. - корни уравнения (97.2), которые, как уже указывалось, имеют вещественные части, равные нулю, а а, - некоторые постоянные. Все эти постоянные равны нулю, если уравнение (97.2) не имеет кратных корней. Но если указанное уравнение имеет кратные корни, то некоторые из этих постоянных могут быть отличными от нуля и эти отличные от нуля величины а, можно предполагать произвольными. Обозначим,

движения имеют вид dt



далее, через Yf {t, у,.....у) формы с периодическими коэффициентами, представляющими собой члены ft-ro порядка в разложениях правых частей уравнений (97.3). Тогда, обозначая через N достаточно большое целое число, рассмотрим систему

= Х,у,-Ьа, ,у, ,-ЬКГ+-.-+кГ + ФИ. У,. .... Уп) (97.4) .(/=1, 2.....k\ ао = 0),

совпадающую до членов N-to порядка с системой (97.3). Если невозмущенное движение для системы (97.4) будет устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво при любом выборе функций ф, удовлетворяющих при всех в некоторой окрестности начала

координат неравенствам

Ф<(. Ух.....y*)l<{lyil+ ••• (97.5)

где А - некоторая постоянная, то и невозмущенное движение для системы (97.1) будет, соответственно, устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво.

Для решения задачи устойчивости для системы (97.4) мы воспользуемся методом, который мы уже применяли в §§ 66 и 67 при решении частных случаев рассматриваемой сейчас задачи. Этот метод заключается в преобразовании уравнений (97.4) к такому виду, чтобы в нем члены до порядка N имели постоянные коэффициенты. Тогда задача сведется к уже рассмотренной задаче критических случаев установившихся движений.

Мы сейчас покажем, что указанное преобразование действительно может быть выполнено, если между корнями А. и периодом со не существует никаких соотношений вида

±(/«1X1 + 2X2+ ... +тЛ-,) = -

(г = 1, 2.....к),

где Отр OTj - произвольные целые положительные числа (некоторые из них могут равняться нулю), связанные соотношением "iH" ••• Н-"*- Мы будем предполагать, что это условие выполнено и будем искать интересующее нас преобразование в виде

чп .(пг,, т., тЛ tn, т.

У« = Иг + 24 *Ч0«1«2 •.• (97.6)

(i=l. 2.....k; 2<m,+ ... Jm-N).

где Лг"" - некоторые периодические функции t с перио-

дом (0. Мы постараемся подобрать эти функции таким образом, чтобы



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [143] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017