Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

преобразованные уравнения приняли вид

2ar"-"*V...«?+f/.a, а,.....«,) (97.7)

(/=1, 2,..., k; 2<m,+ ... +mj<yV),

(m.....тЛ

где a) - постоянные, a t/, - зависящие от t аналитические

функции переменных щ.....щ, разложения которых начинаются

членами не ниже {N-\- 1)-го порядка. Эти функции, очевидно, удовлетворяют соотношениям вида (97.5).

Пусть uT\t, Up Mj) обозначает совокупность членов т-го порядка в подстановке (97.6). Допустим, что все uf, для которых S < т, и все ир), для которых j < I, уже вычислены согласно вышеуказанным условиям. Тогда, подставляя в уравнения (97.4) вместо у, их выражения (97.6), заменяя при этом производные их выражениями (97.7) и приравнивая, члены т-го порядка в левых и правых частях полученных таким образом уравнений, мы найдем для определения форм м!™) следующие уравнения:

= rf4P(. «...... Ч) (97.8)

(i=l, 2, k; mi И- ... --mj = m; ao = 0).

Здесь if-l" обозначает известные фор1у1ы m-го порядка переменных Up Uj;, коэффициенты которых являются периодическими функциями t, периода со.

Приравнивая в уравнениях (97.8) подобные члены, мы получим для определения коэффициентов Л™»••"*) (/) систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений. При этом, если эти коэффициенты вычислять в определенном порядке (см. § 93, уравнения (93.13)), то для каждого из них получится уравнение вида

-+ (тЛ+ ... -ЬтЛ-)Г"

= a("i • • • "*) -\- ....."*) (t), (97.9)

где Б("г ••"*) являются линейными функциями уже вычисленных величин л("г •"*) с периодическими коэффициентами.



j("l....."ft) =±

1 (St

Bf""*) dt при m,Aj + . .. + ml - = 0.

При таком и только таком выборе постоянной a""*) уравнение (97.9) при miXi-\~ ... -\-тХ - Х-; = 0 будет иметь периодическое решение, определяемое, очевидно, формулой

("1.....«ft) = Jfi("4.....k)dt.

Входящую сюда постоянную интегрирования можно выбрать по произволу. При miXx-\- ... -l-Kftft - О уравнение (97.9) имеет периодическое решение при любом выборе постоянной a("i ••"ft), С целью упрощения (весьма существенного) получаемых после преобразования уравнений (97.7) мы будем полагать:

(т,,m)Q при тХ ... ml - liO. (97.10)

При таком выборе постоянной а""*) уравнение (97.9), как было показано в § 67, имеет периодическое решение

(О t

£!! J%-/(Od+ \ e-"f(t)dt\, (97.11)

где для краткости положено:

а = 1.- тХ - ... - тХ. f (t) = fifi....."л) (0.

Так как по условию а никогда не равняется -то

знаменатель в решении (97.11) всегда отличен от нуля и это решение действительно существует. Благодаря тому же условию однородная часть уравнения не имеет периодического решения с периодом, соизмеримым с со, вследствие чего уравнение (97.9) кроме решения (97.11) не имеет других периодических решений.

Допустим, что все входящие в fi("i••" величины Л""*) уже вычислены и вышли периодическими. Тогда fi("i "ft) будут известными периодическими функциями времени и уравнение (97.9) даст возможность вычислить коэффициент Л"""*).

Для того чтобы этот коэффициент получился периодическим, необходимо, вообще говоря, подобрать постоянную a("i"ft). Мы положим



Таким путем можно последовательно определить коэффициенты (ffij,т,) преобразования и одновременно с ними коэффициенты

.....преобразованных уравнений. Если теперь учесть, что

каждая из величин Я, либо равна нулю, либо является чисто мнимой и что в последнем случае какая-нибудь из величин Xj равна -Я;, то мы придем к заключению, что, по крайней мере, при нечетном т некоторые из величин т,Я, -- . .. -- тЯ - Я,- равны нулю. Следовательно, не все постоянные о(" " равны нулю, если только не рассматривать тот особо исключительный случай, когда все интегралы

J Bfi"ft) dt,

как бы велико ни было т, равны нулю. Исключая из рассмотрения указанный случай, как и все другие случаи, при которых задача устойчивости не решается конечным числом членов, мы приведем любой критический случай для периодических движений к аналогичному случаю для установившихся движений.

В частности, мы имеем возможность решить задачу устойчивости для критических случаев одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней и двух пар чисто мнимых корней. Заметим, что в этих случаях в силу (97.10) уравнения (97.7) будут уже иметь вид, при котором задача устойчивости решается сразу, т. е. вид (95.6) в случае двух пар чисто мнимых корней и вид (96.4) в случае одного нулевого и пары чисто мнимых корней.

Пример. Пусть предложена система третьего порядка

с одним нулевым и парой чисто мнимых корней ± Я,. Здесь / и /-аналитические функции переменных лг, у, разложения кото-

рых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже третьего

, J, dx

порядка, причем функция / содержит только четные степени .

Коэффициенты этих разложений, так же как и коэффициент ф(/), являются периодическими функциями t, периода со. Полагая

i dx / dx

xi - x У1 - X 4- .



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0112