Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dt dx.

. х1 + У1 Я(у1-лг.) \

- ах -fit +

XHyi-xiY

х1 + У1

+ 4>it)(yx-x{)\ ЧУ1-ХгУ \

=4 yj~

-4>(t)(yi~x,f.

(97.12)

(97.13)

Делаем, далее, подстановку (97.6):

y - V-\-V(t, Mj, Vi, v)-{- ...

y = v-{-vf)(t. M,, v. v)-\- ... (mi--K2 + " = )-

Мы не вводим в подстановку членов второго порядка, так как эти члены отсутствуют в уравнениях (97.12). Кроме того, мы учитываем, что переменные х и у; являются комплексно сопряженными, и делаем поэтому такими же переменные Mj и г;,.

Стараемся подобрать преобразование (97.13) таким образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид (97.7). В рассматриваемом случае, учитывая (97.10), мы должны получить:

dv ч 1 „ ,

-:att, + a,tt2t;j + p,ttjt;2+ .... ai = -lXv,-{-ayu-\-\vv+ ...

dt dvi

приведем рассматриваемую систему к виду



Подставляя (97.13) и (97.14) в первые два уравнения (97.12) и приравнивая члены третьего порядка, получим:

dui dv.

= /7(3) + k{v,-u,)

«i"!i + Pi"i-

duf dv.

Vi =

(97.15)

+ -9(0(ti-«i)3,

где и - совокупность членов третьего порядка в f п F.

Если в первом из этих уравнений приравнять коэффициент при v, то получим:

W 4(0, о, 3)

а + -==F(t, О, О, 1),

и условие периодичности Л*° ° дает:

F<3)(/, О, О, \)dt.

(97.16)

Приравнивая во втором уравнении (97.15) коэффициенты при ufv и будем иметь:

i + Т-= - ф (О + 8- Ф (0.

где ф() и Ч(/)-некоторые вещественные функции i, представляющие собой коэффициенты при uv и uv в /(з) , .у

Отсюда находим:

а, =

(О rf.

Коэффициент р мы не подсчитываем, так как он нам не потребуется. Полагая теперь:

=--ре*, г;, =ре



Здесь

8(0 о

Для форм Р и О имеем:

P(v, p) = ax»-fpx»V+ap4, G(v, р) = vp[{a - р) р2 - ах»2].

Уравнение 0 = 0 дает две прямые х< = 0, р = 0 и две прямые, определяемые уравнением

аг,2--(й -р)р2 = 0, (97.18)

если только а (а - р) > 0. Отсюда находим, чго невозмущенное движение будет неустойчиво, если хотя бы одна из величин а или а положительна. Если а < О и а < О, то, невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво, если уравнение (97.18) не имеет вещественных решений, т. е. если а(а - Р) < 0. Но то же самое будет и в том случае, когда прямые (97.18) являются вещественными. Действительно, при условии (97.18) имеем:

Р=йр2х»2 4-ар4,

и следовательно, если й < О, то на обеих прямых (97.18) форма Р отрицательна. Итак, принимая во внимание (97.16) и (97.17), находим, что невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво, если обе величины

f(f(t)dt, j F\t, О, О, l)dt

отрицательны и неустойчиво, если хотя бы одна из них положительна. Если одна из этих величин отрицательна, а другая равна нулю, то требуется рассмотреть члены более высокого порядка в уравнениях (97.14).

мы получим из (97.14) следующую решающую задачу систему второго порядка с двумя нулевыми корнями:

Р=арЗ+ ...

(f(i)di. (97.17)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013