Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

ДОПОЛНЕНИЕ!.

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ.

§ 98. Постановка задачи.

В 1949 году М. А. Айзерманом i) была поставлена следующая задача об устойчивости систем автоматического регулирования с одним нелинейным органом.

Допустим, что поведение системы автоматического регулирования описывается дифференциальными уравнениями вида

-af- = s\Xi + - • • + а„х„ (5 = 2.....re),

где aj-постоянные. Наряду с системой (98.1) рассмотрим линейную систему

-=-«11X1+ ••• +ainX„ + hx„

- = «.11+ • • • (5 = 2.....ге)

и допустим, что все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части при всех значениях Л, лежащих в интервале

а < Л < р. (98.2)

Требуется узнать, будет ли при любом выборе однозначной и непрерывной функции f(x), обращающейся в нуль при л: = 0 и удовлетворяющей при всех значениях Х/фО неравенствам

) А й 3 е р м а н М. А., Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем. Успехи матем. иаук, т. IV, вып. 4, 1949.



) Е р у г и н Н. П., О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений. ПММ, т. XIV, вып. 5, 1950; Качественное исследование интегральных кривых дифференциальных уравнений. ПММ, т. XIV, вып. 6, 1950.

2) М а л к и н И. Г., Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. XVI, вып. 3, 1952.

3) Лурье А. И., Постников В. Н., К теории устойчивости регулируемых систем. ПММ, т. VIII, вып. 3, 1944.

состояние равновесия х- ... =х„ = 0 системы (98.1) асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях.

Указанная задача для систем второго порядка была досконально изучена в 1950 году Н. П. Еругиным), который в рассмотренных им случаях дал положительный ответ на вопрос М. А. Айзермана. Его работы опирались на качественные методы исследования траекторий на плоскости переменных {Xi, X2}. Эти исследования привлекли внимание многих математиков к данной проблеме и к другим задачам устойчивости в целом.

В 1952 году, уже после выхода первого издания настоящей монографии, И. Г. Малкиным была выполнена работа 2), в которой также изучалась проблема М. А. Айзермана для систем второго порядка. Это исследование опиралось на второй метод Ляпунова. При этом автор нашел весьма простое доказательство, построив функцию Ляпунова в виде суммы квадратичной формы и интеграла с переменным верхним пределом. Такой метод впервые был предложен в работе А. И. Лурье и В. Н. Постникова З). Статья И. Г. Малкина, гдеэтот метод был развит для данной задачи, послужила толчком для ряда работ, посвященных исследованию нелинейных проблем устойчивости в целом на базе функций Ляпунова.

Содержанием настоящего Дополнения I является упомянутая работа И. Г. Малкина с небольшими изменениями.

§ 99. Исследование системы второго порядка с нелинейностью, зависящей от первой координаты.

Рассмотрим сначала систему второго порядка

~=/{х}-\-ау, 1- = *х-Ьсу. (99.1)

Характеристическое уравнение соответствующей линейной системы

dx , , dy . ,

- = hx + ay, = bx+cy

имеет вид

р2 - (Л-4-с) р-4-Лс - = 0.



2 J [Л (л:) с - аЬ] xdx+ (сх - ayf.

На основании (99.2) эта функция определенно-положительна. Составляя производную этой функции по в силу уравнений (99.1), найдем:

~f = - abcx + с/2 {X) + (с2 - ab)xf {х).

Полученное выражение, обращаясь в нуль при х = 0, при хфО может принимать только отрицательные значения при любом выборе функции f {х), удовлетворяющей условию (99.2). Действительно, при условии (99.2) и при хфО будем иметь:

= {h + c){ch - ab)x<0, (99.4)

что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, при любом выборе функции f{x), удовлетворяющей условию (99.2), V будет являться для уравнений (99.1) функцией Ляпунова. Отсюда немедленно вытекает устойчивость равновесия X = у = 0. Легко видеть, что при этом устойчивость будет

асимптотической, несмотря на то, что функция является не знако-

определенной, а только знакопостоянной. Действительно, обращается в нуль только при л: = 0 и, следовательно, интегральные

Корни этого уравнения будут иметь отрицательные вещественные части при всех значениях h, удовлетворяющих условиям

/г--с<0, hc - ab>0.

Поэтому, полагая / {х) = xh {х) {х Ф 0), будем по условию задачи иметь:

Л (л:) 4-с < О, h{x)c~ab>Q {хфО). (99.2)

Мы будем, кроме того, предполагать, что при л: > , где I - достаточно большое число, выполняется неравенство

h(x)c - ab>e (\х\>1), (99.3)

где е - положительное число, которое может быть сколь угодно малым.

Рассмотрим функцию

2V =2с j f {X) dx + (с2 - ah) х - 2асху + ау = о



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0085