Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) См. Дополнение III.

) См. также примечание к стр. 38.

кривые во всех точках, не лежащих на оси у, пересекают семейство замкнутых кривых V - const снаружи внутрь. Но то же самое будет, очевидно, иметь место и в точках, лежащих на оси у, так как при

д; = 0, как это следует из уравнений (99.1), -Ф- Разница будет

лишь в том, что на оси у интегральные кривые, входя внутрь кривых V = const, будут при этом их касаться).

Итак, при любом выборе функции /(л;), удовлетворяющей условию (99.2), равновесие х - у - О асимптотически устойчиво. И это будет иметь место, каковы бы ни были начальные значения величин X и у, так как, учитывая (99.3), можно показать, что кривые V {х, у) = с при любом с замкнуты. Это можно также показать и не обращаясь к геометрической интерпретации 2).

Достаточно рассмотреть лишь случаи, когда в уравнениях (99.1) а ФО, так как при а -О асимптотическая устойчивость движения х = у = 0 в целом при условиях (99.2), (99.3) проверяется непосредственно последовательным интегрированием уравнений (99.1).

Действительно, при \х\ > мы можем на основании (99.3) писать (знак плюс перед берется при л; > Е и знак минус - при л; < - Е):

21/ = 2 J [h{x)c - ab]xdx-{-2 j \h (x) c - al?]xdx-\-

0 ±1

+ (cx - ayf > 2e (x - 2) 4- (cx - ay)\ (99.5)

Пусть x(t), y{t) - произвольное решение уравнений (99.1). На основании (99.4)

V(Xit), y{t))Vo = V{x (о). у (о))

Но так как при достаточно больших х выполняется (99.5), то отсюда следует, что при всех ft рассматриваемое решение остается внутри круга достаточно большого радиуса с центром в начале координат. Но тогда это решение с неограниченным возрастанием t либо стремится к какому-нибудь периодическому решению х* (t), у* (t), либо к единственной особой точке х = у = 0. Но первый из этих случаев невозможен. Действительно, функция V (х* {(), у* {()) отлична от постоянной, так как в силу (99.4) ее производная может обратиться тождественно в нуль только, если х* (t) = 0, а последнее невозможно, если в уравнениях (99.1) величина а ф 0. Но если функция V(x*(t), y*(t)) отлична от постоянной, то, будучи периодической, она вопреки (99.4) не может обладать знакопостоянной



~2 j [ас -bh (у)] ydy-}- (bx - ayf.

На основании (100.2) функция V определенно-положительна. Составляя ее производную в силу уравнений (100.1), получим:

= ас (а 4 с) у2 -6 (а -1- с) у/ (у).

производной. Таким образом, система (99.1) не имеет периодических решений и, следовательно, решение x{t), y{t) при ->оо стремится к нулю. Поэтому для уравнений (99.1) ответ на вопрос, поставленный М. А. Айзерманом, всегда получается утвердительный.

§ 100. Исследование системы второго порядка с нелинейностью, зависящей от второй координаты.

Рассмотрим теперь систему

= ax + f{y), = bx + cy. (100.1)

Характеристическое уравнение соответствующей линейной системы имеет теперь вид

р2 - (й 4- с) р 4- йс - *А = 0.

Следовательно, для того чтобы корни этого уравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

й с < О, ac - bh>0.

Полагая / (у) = yh (у), будем иметь

ас -М(у)>0. (100.2)

Кроме того, предположим, что при достаточно больших значениях у выполняется неравенство ас - bh{y)z.

В частности, если Ь = 0, то функция /(у) ничем не ограничена. Но при b - Q, как это следует из (100.2), должно быть й < О, с < О и непосредственное интегрирование системы (100.1) показывает, что равновесие асимптотически устойчиво при любом начальном возмущении и при любом выборе функции /(у).

Допустим, что * =7 О, и рассмотрим функцию

21/ = - 2* J / (у) dy + bx - lahxy + (л +• с) ау



Полагая f(y) = hy, где h = h{y) удовлетворяет условию (100.2), получим:

- = (а4-с)(йс -М)у2<0 при уфО.

Отсюда, так же как и в предыдущем параграфе, заключаем, что если в уравнениях (100.1) функция удовлетворяет условию (100.2), то равновесие будет асимптотически устойчиво при любом начальном возмущении.

Итак, для системы (100.1) ответ на вопрос М. А. Айзермана тоже получается всегда утвердительный.

Во всех наших рассуждениях не исключалась возможность, что кривая Z - f(x) касается при л; = О одной из прямых z = ax yi z=рх. в этом случае характеристическое уравнение будет иметь корни с вещественной частью, равной нулю. Следовательно, линеаризованная система будет находиться на границе области устойчивости. Так как при этом нелинейная система будет по доказанному устойчива, то по И. Н. Баутину эта граница всегда является «безопасной» ).

В заключение заметим, что предположение о дифференцируемости функции / (л;) не делалось и, следовательно, кривая z - f (д;) может не иметь в начале координат определенной касательной.

I) См. § 44.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014