Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

ДОПОЛНЕНИЕ II. О СУЩЕСТВОВАНИИ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА.

§ 101. Постановка задачи.

В §§ 71-73, 75 настоящей книги рассматривалась проблема обращения теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ниже приводится с небольшими изменениями содержание статьи И. Г. Малкина «К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости», опубликованной после выхода в свет первого издания настоящей монографии. В этой статье установлены необходимые и достаточные условия существования функции Ляпунова в общем случае неустановившихся движений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения

Xs(t. Хг.....х„) (X,(t. 0.....0) = 0; 5=1.....п),

(101.1)

определенную в области

>0, д;<Я2, x=2 (101.2)

где Н-положительная постоянная. Согласно теореме II Ляпунова (стр. 189) невозмущенное движение л:1= ... =л:„ = 0 будет асимптотически устойчиво, если существует определенно-положительная

функция V (t, Xi.....х„), полная производная которой по времени,

составленная в силу уравнений (101.1), есть функция определенно-отрицательная и если при этом функция V допускает бесконечно малый высший предел. Возникает вопрос об обратимости этой теоремы, т. е. вопрос о существовании функции V, удовлетворяющей всем указанным условиям, всякий раз, когда невозмущенное движение асимптотически устойчиво ). В общем случае теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости не обратима. Этот вопрос исследо-



ван в § 75 для случая, когда функции линейны относительно

лгр..... х„ и по отношению к t непрерывны и ограничены, причем

для такого рода систем установлены необходимые и достаточные условия существования функций V, удовлетворяющих всем условиям теоремы Ляпунова.

Здесь мы будем рассматривать нелинейные уравнения (101.1), правые части которых в области (101.2) непрерывны и допускают непрерывные и ограниченные частные производные по х, .... х„.

§ 102. Необходимые и достаточные условия существования функции V.

Рассмотрим решение x = F(t, х, ..., х°, tj уравнений (101.1) с начальными условиями Р{(, xJ, л:°, о) = л. Если невозмущенное движение асимптотически устойчиво, то найдется такое достаточно малое положительное число 5, что при всех начальных значениях, лежащих в области

х°Ь !f>0. (102.1)

будут выполняться соотношения

Пт P(t, xl.....xl, g = 0. (102.2)

Мы сейчас покажем, что для того, чтобы для уравнений (101.1) существовала функция V, удовлетворяющая всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы соотношения (102.2) выполнялись равномерно относительно xj и tf). Мы докажем, следовательно, что имеют место две следующие теоремы.

Теорема 1. Если существует такое положительное число б, что соотношения (102.2) выполняются равномерно относительно х\, .... лежащих в области (102.1), то существует допускающая бехконечно малый высший предел определенно-положительная функцияУ (t, Xi.....л:„), полная производная которой по времени, составленная в силу уравнений (101.1), есть функция определенно-отрицательная.

Доказательство. Заметим прежде всего, что при выполнении условий теоремы невозмущенное движение будет равномерно устойчивым. Другими словами, для всякого положительного числа е можно найти не зависящее от положительное число 11(8) такое, что при всех ty-to будут выполняться условия Р < е, коль скоро л:" <] ti. Здесь введено обозначение

F{t, х\.....х1, o)=il Fl{t, xi.....xl, to). (102.3)



) См. аналогичное рассуждение в § 73 на стр. 314,

в самом деле, полагая т] < б, мы на основании условий теоремы найдем такое число 7(e), зависящее только от е, что йри всех о+Т будет выполняться неравенство F < с2. Будем теперь считать Tl настолько малым, чтобы это неравенство выполнялось также в течение конечного промежутка времени (д, iQ-\-T). Это возможно в силу теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий (решение сравниваем с тривиальным решением Xj = . ,. ... = дг„ == 0). При этом, как это вытекает из доказательства указанной теоремы, число ti определяется исключительно числом 7(e) и верхними пределами функщ1й \Х,\ и их постоянных Липшица по переменным Xj в области tgt <C tQ-{-T, х е". Полученное таким образом число ц будет удовлетворять всем требуемым условиям. Из сказанного следует, что если число б в неравенствах (102.1) достаточно мало, то функция Р будет при всех / > во всяком случае оставаться в области х<Н. Мы будем в дальнейшем предполагать, что число б удовлетворяет указанному условию.

Покажем теперь, что для функции Р при всех т > О выполняется неравенство i)

P{to-h.x<l.....х„, д<ф(т). (102.4)

где ф(т)-некоторая положительная непрерывная функция, для которой 1!тф(т) = 0 при т->оо. С этой целью рассмотрим какую-нибудь убывающую и сходящуюся к нулю бесконечную последовательность

положительных чисел е ej.....е„, ... По условию теоремы для

всякого числа е, этой последовательности найдется число 7,- (е) такое, что при всех т > 7,- будет выполняться неравенство F(g-f-T. х°, ...

.... х°, < е, и это число 7 не будет зависеть от х, t. Последовательность 7 будет, очевидно, расходящейся, и мы можем при этом предполагать, что 74.1 > 7. Рассмотрим теперь произвольную монотонно убывающую функцию ф (т), для которой ф(7..,) = = е,-(/=1, 2, ...). Если мы при этом предположим, что в интервале (О, 72) справедливо неравенство F < ф (т), что, очевидно, возможно, так как при всех значениях аргументов Р fP, то построенная таким образом функция ф (т) будет удовлетворять всем требуемым условиям.

Рассмотрим теперь частные производные и . Так как

по доказанному при всех ttK всех значениях х, лежащих в области (102.1), функции Р остаются в области (101.2), то эти частные производные при указанных значениях аргументов существуют и не-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018