ДОПОЛНЕНИЕ II. О СУЩЕСТВОВАНИИ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА.

§ 101. Постановка задачи.

В §§ 71-73, 75 настоящей книги рассматривалась проблема обращения теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ниже приводится с небольшими изменениями содержание статьи И. Г. Малкина «К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости», опубликованной после выхода в свет первого издания настоящей монографии. В этой статье установлены необходимые и достаточные условия существования функции Ляпунова в общем случае неустановившихся движений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения

Xs(t. Хг.....х„) (X,(t. 0.....0) = 0; 5=1.....п),

(101.1)

определенную в области

>0, д;<Я2, x=2 (101.2)

где Н-положительная постоянная. Согласно теореме II Ляпунова (стр. 189) невозмущенное движение л:1= ... =л:„ = 0 будет асимптотически устойчиво, если существует определенно-положительная

функция V (t, Xi.....х„), полная производная которой по времени,

составленная в силу уравнений (101.1), есть функция определенно-отрицательная и если при этом функция V допускает бесконечно малый высший предел. Возникает вопрос об обратимости этой теоремы, т. е. вопрос о существовании функции V, удовлетворяющей всем указанным условиям, всякий раз, когда невозмущенное движение асимптотически устойчиво ). В общем случае теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости не обратима. Этот вопрос исследо-

ван в § 75 для случая, когда функции линейны относительно

лгр..... х„ и по отношению к t непрерывны и ограничены, причем

для такого рода систем установлены необходимые и достаточные условия существования функций V, удовлетворяющих всем условиям теоремы Ляпунова.

Здесь мы будем рассматривать нелинейные уравнения (101.1), правые части которых в области (101.2) непрерывны и допускают непрерывные и ограниченные частные производные по х, .... х„.

§ 102. Необходимые и достаточные условия существования функции V.

Рассмотрим решение x = F(t, х, ..., х°, tj уравнений (101.1) с начальными условиями Р{(, xJ, л:°, о) = л. Если невозмущенное движение асимптотически устойчиво, то найдется такое достаточно малое положительное число 5, что при всех начальных значениях, лежащих в области

х°Ь !f>0. (102.1)

будут выполняться соотношения

Пт P(t, xl.....xl, g = 0. (102.2)

Мы сейчас покажем, что для того, чтобы для уравнений (101.1) существовала функция V, удовлетворяющая всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы соотношения (102.2) выполнялись равномерно относительно xj и tf). Мы докажем, следовательно, что имеют место две следующие теоремы.

Теорема 1. Если существует такое положительное число б, что соотношения (102.2) выполняются равномерно относительно х\, .... лежащих в области (102.1), то существует допускающая бехконечно малый высший предел определенно-положительная функцияУ (t, Xi.....л:„), полная производная которой по времени, составленная в силу уравнений (101.1), есть функция определенно-отрицательная.

Доказательство. Заметим прежде всего, что при выполнении условий теоремы невозмущенное движение будет равномерно устойчивым. Другими словами, для всякого положительного числа е можно найти не зависящее от положительное число 11(8) такое, что при всех ty-to будут выполняться условия Р < е, коль скоро л:" <] ti. Здесь введено обозначение

F{t, х\.....х1, o)=il Fl{t, xi.....xl, to). (102.3)

) См. аналогичное рассуждение в § 73 на стр. 314,

в самом деле, полагая т] < б, мы на основании условий теоремы найдем такое число 7(e), зависящее только от е, что йри всех о+Т будет выполняться неравенство F < с2. Будем теперь считать Tl настолько малым, чтобы это неравенство выполнялось также в течение конечного промежутка времени (д, iQ-\-T). Это возможно в силу теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий (решение сравниваем с тривиальным решением Xj = . ,. ... = дг„ == 0). При этом, как это вытекает из доказательства указанной теоремы, число ti определяется исключительно числом 7(e) и верхними пределами функщ1й \Х,\ и их постоянных Липшица по переменным Xj в области tgt <C tQ-{-T, х е". Полученное таким образом число ц будет удовлетворять всем требуемым условиям. Из сказанного следует, что если число б в неравенствах (102.1) достаточно мало, то функция Р будет при всех / > во всяком случае оставаться в области х<Н. Мы будем в дальнейшем предполагать, что число б удовлетворяет указанному условию.

Покажем теперь, что для функции Р при всех т > О выполняется неравенство i)

P{to-h.x<l.....х„, д<ф(т). (102.4)

где ф(т)-некоторая положительная непрерывная функция, для которой 1!тф(т) = 0 при т->оо. С этой целью рассмотрим какую-нибудь убывающую и сходящуюся к нулю бесконечную последовательность

положительных чисел е ej.....е„, ... По условию теоремы для

всякого числа е, этой последовательности найдется число 7,- (е) такое, что при всех т > 7,- будет выполняться неравенство F(g-f-T. х°, ...

.... х°, < е, и это число 7 не будет зависеть от х, t. Последовательность 7 будет, очевидно, расходящейся, и мы можем при этом предполагать, что 74.1 > 7. Рассмотрим теперь произвольную монотонно убывающую функцию ф (т), для которой ф(7..,) = = е,-(/=1, 2, ...). Если мы при этом предположим, что в интервале (О, 72) справедливо неравенство F < ф (т), что, очевидно, возможно, так как при всех значениях аргументов Р fP, то построенная таким образом функция ф (т) будет удовлетворять всем требуемым условиям.

Рассмотрим теперь частные производные и . Так как

по доказанному при всех ttK всех значениях х, лежащих в области (102.1), функции Р остаются в области (101.2), то эти частные производные при указанных значениях аргументов существуют и не-