dF{t, xl .... xl, to)

(102.5)

< Ae = Mix),

где A и X - не зависящие от х°, положительные числа. С этой целью рассмотрим уравнения в вариациях для системы (101.1):

= р,,и, + ... + Ps„u„ [ps] = . (102.6)

При этом в производных pj величины д; заменены функциями F. Пусть uj(t, и м*(, /д) -решения этой системы, определяемые начальными условиями:

Ujjito, to) = bjj (bj - символ Кронекера),

«;(о. д=-до- А.....<)

Тогда, как известно, имеем тождественно

(102.7)

dt

Полагая в уравнениях (102.6) г» = ме*-, будем иметь

откуда

s. i = l 5=1

Правая часть этого выражения при достаточно большом положительном X будет формой определенно-отрицательной, так как, по определению, в области (101.2) частные производные функций X, ограничены. Полагая, что X удовлетворяет указанному условию, получим при ty to

tv\{t)<\v\{t,)

5 ~\ s ~\

и, следовательно,

2 и] (О <i «ио)

5-1 Л=i

Применяя эти неравенства к решениям и и м* и учитывая, что на основании (102.7) для модулей начальных значений эгих решений

прерывны. Покажем, что при т > О справедливы неравенства dF{to + x,xi.....to)

) См. выше стр. 314-315.

могут быть назначены некоторые не зависящие от х°, ъщт пре-

дР, дР,

делы, находим, что частные производные -- , -, а Следовательно,

дх) dtg

дР дР

также и частные производные --д-, -удовлетворяют неравенствам

dxj dtg

вида (102.5).

Как показал И. Л. Массера ), для всякой пары положительных функций Л1 (ti) и ф(ti), определенных при всех из которых

первая возрастающая, а вторая стремится к нулю при т1->оо, можно построить функцию 0(т1), удовлетворяющую следующим условиям.

1. Функция 0(т1) - положительная возрастающая функция, определенная при всех г[0 и обладающая непрерывной возрастающей (очевидно, положительной) производной О (ti).

2. О(0) = 0. О(0) = 0.

3. Имеют место неравенства

со со

J о [ф (т)] Л < ОО, J G [ф (т)] М (т) dx < оо. (102.8)

Принимая, что ф(т1) и M(vO - функции, фигурирующие в неравенствах (102.4) и (102. 5), положим

Vit, X,.....х„) = G{F{x, X,.....х„, t)\dx~

= J 0[F( + T, X,.....х„, t)-\dx (102.9)

и покажем, что функция V удовлетворяет всем условиям теоремы. Заметим прежде всего, что в области

!f>0. i<62 (102.10)

на основании (102.4) справедливы при всех г>0 неравенства

0[F(--T, X,.....х„, 01 <0[ф(т)],

так как О (ti) - функция возрастающая. Отсюда на основании (102.8) вытекает, что интеграл, фигурирующий в выражении V, сходится и притом равномерно в области (102.10). Следовательно, в этой области функция V существует и непрерывна по всем своим аргументам. Дифференцируя далее выражение V формально под знаком интеграла,

будем иметь:

О[Fix, х„

дУ dt

= -Q[F(t, X,.

+ QlF(x,x„

01+ (102.11)

Но на основании (102.4) и (102.5) в области (102.10) при всех т > имеем:

дР(Х, Ху .... х„, t)

О[Fix, X,.....х„, t)]

<0 [ф (т-О! Л1(т-0.

О[Fix. Xl.....х„. 01 ibJImJI < О [ф(т-0] Mix-t).

так как функция О(л) также возрастающая. Поэтому интегралы, входящие в (102.11), сходятся в области (102.10) абсолютно и равномерно. Следовательно, выражения (102.11) представляют в области (102.10) непрерывные и ограниченные функции, которые действительно являются частными производными функции V. Итак, функ ция V обладает в области (102.10) непрерывными и ограниченными частными производными первого порядка. Но это условие является более сильным, чем существование бесконечно малого высшего предела.

Покажем теперь, что функция V определенно-положительна. С этой целью положим

а=-L=-/x2+ ... +х2.

где L-верхний предел величин \ Х\ в области (101.2). Из (102.9) имеем:

V> f 0[Fit + x, Xl.....x„. t)\dx.

(102.12)

П( + -г- 1.....x„, t)~x,\ =

t + x

f Xir], FliT], Xl.....x„, t), ...

.... Fii], Xl.....x„, t))dr]

<Lx