Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 [149] 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dF{t, xl .... xl, to)

(102.5)

< Ae = Mix),

где A и X - не зависящие от х°, положительные числа. С этой целью рассмотрим уравнения в вариациях для системы (101.1):

= р,,и, + ... + Ps„u„ [ps] = . (102.6)

При этом в производных pj величины д; заменены функциями F. Пусть uj(t, и м*(, /д) -решения этой системы, определяемые начальными условиями:

Ujjito, to) = bjj (bj - символ Кронекера),

«;(о. д=-до- А.....<)

Тогда, как известно, имеем тождественно

(102.7)

dt

Полагая в уравнениях (102.6) г» = ме*-, будем иметь

откуда

s. i = l 5=1

Правая часть этого выражения при достаточно большом положительном X будет формой определенно-отрицательной, так как, по определению, в области (101.2) частные производные функций X, ограничены. Полагая, что X удовлетворяет указанному условию, получим при ty to

tv\{t)<\v\{t,)

5 ~\ s ~\

и, следовательно,

2 и] (О <i «ио)

5-1 Л=i

Применяя эти неравенства к решениям и и м* и учитывая, что на основании (102.7) для модулей начальных значений эгих решений

прерывны. Покажем, что при т > О справедливы неравенства dF{to + x,xi.....to)



) См. выше стр. 314-315.

могут быть назначены некоторые не зависящие от х°, ъщт пре-

дР, дР,

делы, находим, что частные производные -- , -, а Следовательно,

дх) dtg

дР дР

также и частные производные --д-, -удовлетворяют неравенствам

dxj dtg

вида (102.5).

Как показал И. Л. Массера ), для всякой пары положительных функций Л1 (ti) и ф(ti), определенных при всех из которых

первая возрастающая, а вторая стремится к нулю при т1->оо, можно построить функцию 0(т1), удовлетворяющую следующим условиям.

1. Функция 0(т1) - положительная возрастающая функция, определенная при всех г[0 и обладающая непрерывной возрастающей (очевидно, положительной) производной О (ti).

2. О(0) = 0. О(0) = 0.

3. Имеют место неравенства

со со

J о [ф (т)] Л < ОО, J G [ф (т)] М (т) dx < оо. (102.8)

Принимая, что ф(т1) и M(vO - функции, фигурирующие в неравенствах (102.4) и (102. 5), положим

Vit, X,.....х„) = G{F{x, X,.....х„, t)\dx~

= J 0[F( + T, X,.....х„, t)-\dx (102.9)

и покажем, что функция V удовлетворяет всем условиям теоремы. Заметим прежде всего, что в области

!f>0. i<62 (102.10)

на основании (102.4) справедливы при всех г>0 неравенства

0[F(--T, X,.....х„, 01 <0[ф(т)],

так как О (ti) - функция возрастающая. Отсюда на основании (102.8) вытекает, что интеграл, фигурирующий в выражении V, сходится и притом равномерно в области (102.10). Следовательно, в этой области функция V существует и непрерывна по всем своим аргументам. Дифференцируя далее выражение V формально под знаком интеграла,



будем иметь:

О[Fix, х„

дУ dt

= -Q[F(t, X,.

+ QlF(x,x„

01+ (102.11)

Но на основании (102.4) и (102.5) в области (102.10) при всех т > имеем:

дР(Х, Ху .... х„, t)

О[Fix, X,.....х„, t)]

<0 [ф (т-О! Л1(т-0.

О[Fix. Xl.....х„. 01 ibJImJI < О [ф(т-0] Mix-t).

так как функция О(л) также возрастающая. Поэтому интегралы, входящие в (102.11), сходятся в области (102.10) абсолютно и равномерно. Следовательно, выражения (102.11) представляют в области (102.10) непрерывные и ограниченные функции, которые действительно являются частными производными функции V. Итак, функ ция V обладает в области (102.10) непрерывными и ограниченными частными производными первого порядка. Но это условие является более сильным, чем существование бесконечно малого высшего предела.

Покажем теперь, что функция V определенно-положительна. С этой целью положим

а=-L=-/x2+ ... +х2.

где L-верхний предел величин \ Х\ в области (101.2). Из (102.9) имеем:

V> f 0[Fit + x, Xl.....x„. t)\dx.

(102.12)

П( + -г- 1.....x„, t)~x,\ =

t + x

f Xir], FliT], Xl.....x„, t), ...

.... Fii], Xl.....x„, t))dr]

<Lx



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 [149] 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017