Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 16] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕОРЕМЫ 53

гральная кривая при возрастании t необходимо входит внутрь области V > О и пересекает кривые семейства V = с в сторону, соответствующую возрастанию с, т. е. удаляясь от границы V = 0. При этом интегральная кривая все время будет удаляться от начала координат и в конце концов покинет область (13.1), если только она в некоторый момент времени не достигнет другой границы области V > 0. Это, однако, невозможно, так как если бы такое пересечение в какой-нибудь точке N (рис. 6) имело место, то в этой точке, очевидно, dV

было бы

о, так как

функция Vу изменяясь от положительных значений к нулевому, необходимо уменьшалась бы.

Таким образом, имеются интегральные кривые, выходящие из точек, сколь угодно близко расположенных к началу координат, и покидающие в некоторый момент времени область (13.1). Отсюда и вытекает неустойчивость движения.

Мы предположили, что функция V не является знакоопределенной. Ничто, однако, не изменится, если V и является знакоопределенной

функцией. В этом случае областью К > О будет вся окрестность начала координат.

Приведенное геометрическое истолкование теоремы В сразу приводит к важному обобщению этой теоремы. Действительно, во всех предыдущих рассуждениях не играло никакой роли то обстоятель-

ство, что производная является знакоопределенной. Все предыдущие рассуждения останутся в силе, если вместо знакоопределен-

Рис. 6.

останутся dV

ности предположить, что принимает положительные значения во

всех точках области V > 0. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме, установленной Н. Г. Четаевым i).

Теорема Н. Г. Четаева. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти такую функцию {х.....х„). что 1) в сколь угодно малой окрестности

) Четаев Н. Г., Одна теорема о неустойчивости, ДАН, т. I, № 9. 1934. См. также монографию: Четаев Н. Г., Устойчивость движения (Гостехиздат, 1946), где дана более точная формулировка теоремы.



На основании (17.1) в области С выполняется неравенство К > О,

начала координат существует область, где V у> О, на границе которой V = 0, и 2) во всех точках области V>0 производ-dV

ная принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

Точное аналитическое доказательство теоремы Н. Г. Четаева мы дадим в главе V, где эта теорема будет изложена в более общей формулировке.

§ 17. Пример приложения теоремы Н. Г. Четаева. Теорема Н. Г. Четаева о неустойчивости равновесия.

Согласно теореме Лагранжа положение равновесия системы устойчиво, если в этом положении силовая функция имеет максимум. Наоборот, согласно теореме Ляпунова положение равновесия будег неустойчиво, если в этом положении силовая функция имеет минимум, и этот минимум определяется совокупностью членов наинизшего измерения в разложении силовой функции.

Исследуем теперь вопрос об устойчивости равновесия, когда силовая функция в положении равновесия не имеет ни максимума, ни минимума. Ограничимся при этом рассмотрением того частного случая, когда силовая функция U является формой какого-нибудь порядка т, так что

UUiq,.....q,).

Дифференциальные уравнения возмущенного движения примем, как и в § 14, в форме (14.1). Рассмотрим функцию

l=-WSPi9i- (17.1)

Так как по условию форма при q-= ... = = О не имеет максимума, то эта форма необходимо может принимать положительные значения. Отсюда следует, что в окрестности начала координат пространства 2я переменных q, р, необходимо существует область, где

/у = Г + „>0, (17.2)

причем в этой области > О, так как - Г 0. Назовем областью С ту часть области (17.2), в которой выполняется условие



а па границе ее, где, очевидно, либо Pi4i = А/ = 0, функ-

ция V обращается в нуль.

Составим выражение производной--. Повторяя выкладки § 14 и принимая во внимание, что-=0, найдем:

а, (3=1 а, Р = 1 \ s=\

Выражение, стоящее в фигурных скобках, как было показано в § 14, может принимать только положительные или равные нулю значения. Величина U, как указывалось выше, может принимать в области С только положительные значения. Отсюда следует, что

в области С выполняется условие > 0. Таким образом, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Н. Г. Четаева, откуда вытекает неустойчивость исследуемого положения равновесия. Следовательно, имеет место следующая теорема, установленная Н. Г. Четаевым ).

Если в положении равновесия силовая функция не имеет максимума и эта функция является формой, то равновесие неустойчиво.

§ 18. Заключительные замечания.

В предыдущих параграфах мы изложили основные теоремы второго метода Ляпунова. Эти теоремы сводят задачу устойчивости к построению для уравнений возмущенного движения некоторых функций, обладающих специальными свойствами. Мы будем в дальнейшем эти функции, удовлетворяющие одной из основных теорем второго метода, называть функциями Ляпунова.

Мы рассмотрели ряд задач, которые удалось успешно разрешить при помощи второго метода. В каждой из этих задач было проведено конкретное построение функции Ляпунова. При этом мы видели, что это построение в каждом отдельном случае носило специфический характер, связанный с рассматриваемой конкретной задачей. Общих правил, позволяющих во всех случаях построить функцию Ляпунова, не суш,ествует. Если бы такие правила существовали, то этим самым задача устойчивости была бы полностью исчерпана. К сожалению, мы еще весьма далеки от этого.

) Ч е т а е в Н. Г., К вопросу об обращении теоремы Лагранжа. Сборник научн. трудов Казанск. авиационного ин-та, № 2, 1934.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013