Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

и, следовательно, в интервале О <; т -< а справедлива оценка

откуда

и из (102.12) получаем:

>ИГГп ••• • • • •

Правая часть этого неравенства представляет собой не зависящую от t определенно-положительную функцию. Следовательно, V есть определенно-положительная функция.

Составим теперь выражение для полной производной в силу

дифференциальных уравнений (101.1). Будем, очевидно, иметь:

dV dV*

dt dt

где V* означает результат замены в выражении V величин функциями Fs{t, х°.....х1, to). Имеем

К* (О = / G {/=• [т. Fl {t. X?.....4, о).....F„{t, х\.....xl, to)]]dx

sJO [f{x, x\.....xl, to)]dx,

откуда dV dV*

-W==~dr=-0{p{t x\.....xl,to)]=-0{x\+ ...+xll-.

Следовательно, есть функция определенно-отрицательная.

Таким образом. V удовлетворяет всем нужным условиям, что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если для системы уравнений (101.1) существует допускающая бесконечно малый высший предел cmpi-деленно-положительная функция V(t, Xi.....х„), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, то существует такое достаточно малое число б > О, что решения x==Fs{t, xi.....xl, to) удовлетворяют соотнощенцям {102.2}



равномерно относительно величин д;0, t, лежащих в области (102.1)1).

Доказательство. Согласно условию теоремы существует допускающая бесконечно малый высший предел функция V такая, что в области i-O, хН" выполняются неравенства

V(t X,.....x„)>WiiXi.....х„), (102.13)

- + tls<~WAXi.....х„), (102.14)

где Ui и - не зависящие от t определенно-положительные функции.

Пусть С > О - точный нижний предел функции Wi при условии x = fP. Тогда на основании (102.13) имеем:

Vit, Xl.....х„)У-С при д; = Я2, t>0. (102.15)

Так как V допускает бесконечно малый высший предел, то найдется такое положительное число 6, что будет справедливо неравенство

Vit, Xl.....х„)<С при д;<62, > 0. (102.16)

Покажем, что 6 и является искомым числом, фигурирующим в теореме. С этой целью рассмотрим произвольное положительное число е < 6 и обозначим через с > О точный нижний предел функции ttj при условии №у х&. На основании (102.13) будем иметь:

Vit,Xi.....х„)>с при Я2>д;>е2. О 0. (102.17)

Далее выберем настолько малое положительное число а < е, чтобы выполнялось условие

Vit, Xl.....хХс при x<a2, >0 (102.18)

и обозначим через / > О точный нижний предел функции W2 при условии Нха. Таким образом, на основании (102.14)

-< -/ при НхаК t>0. (102.19)

Рассмотрим теперь произвольное решение Xs = Fs(t. х1, ... .... х, уравнения (101.1), начальные значения которого х и лежат в области, определенной неравенствами (102.1).

) К. П. Персидский доказал, что при выполнении условий теоремы решения стремятся к нулю равномерно относительно to, а И. Л. Массера -что при тех же условиях решения стремятся к нулю равномерно относительно х°.



и покажем, что в интервале (Jt, tQ-\-T) найдется такой момент времени t = ti, для которого

В самом деле, рассмотрим следующее равенство:

/о+Г

V*{t, + T) = V(t,. х,.....xO)+J -dt. (102.20)

Если бы во всем интервале (iQ, io-\-T) было справедливо неравенство V*(t)yc и, следовательно, на основании (102.18) также и неравенство F>a2, то из (102.20) на основании (102.16) и (102.19) мы получили бы

V*itoT)<C-lT = c.

что противоречит условию. Таким образом, в интервале (tg, tQ--\-T) найдется такой момент времени, для которого V*(t)<c. Так как V* (t) - функция убывающая, то это неравенство будет справедливо при всех значениях

t>to~\-T.

Но тогда при всех ttQ-\-T будет на основании (102.17) выполняться неравенство х < е, что и доказывает теорему, так как число е можно взять сколь угодно малым.

Приведенное доказательство может быть проиллюстрировано геометрически (рис. 22).

При рассмотрении рисунка необходимо учесть, что уравнение Wi {xi.....х„) = k" при k, достаточно малом, представляет собой

Покажем прежде всего, что при всех tyt справедливо неравенство

F</f2.

В самом деле, функция V* (J:) - V (t, F,.....F„) на основании

(102.14) монотонно убывает и при / = о основании (102.1) и (102.16) V*{t)<C. (Следовательно, то же самое неравенство справедливо и при всех t > 0- Но тогда при всех > /q будет справедливо неравенство F < №, ибо если бы в какой-нибудь момент времени это неравенство нарушилось, то для этого момента на основании (102.15) мы имели бы V*{t)>C.

Обозначим теперь через Т (е) зависящее только от е положительное число, определяемое равенством



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0073