и, следовательно, в интервале О <; т -< а справедлива оценка

откуда

и из (102.12) получаем:

>ИГГп ••• • • • •

Правая часть этого неравенства представляет собой не зависящую от t определенно-положительную функцию. Следовательно, V есть определенно-положительная функция.

Составим теперь выражение для полной производной в силу

дифференциальных уравнений (101.1). Будем, очевидно, иметь:

dV dV*

dt dt

где V* означает результат замены в выражении V величин функциями Fs{t, х°.....х1, to). Имеем

К* (О = / G {/=• [т. Fl {t. X?.....4, о).....F„{t, х\.....xl, to)]]dx

sJO [f{x, x\.....xl, to)]dx,

откуда dV dV*

-W==~dr=-0{p{t x\.....xl,to)]=-0{x\+ ...+xll-.

Следовательно, есть функция определенно-отрицательная.

Таким образом. V удовлетворяет всем нужным условиям, что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если для системы уравнений (101.1) существует допускающая бесконечно малый высший предел cmpi-деленно-положительная функция V(t, Xi.....х„), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, то существует такое достаточно малое число б > О, что решения x==Fs{t, xi.....xl, to) удовлетворяют соотнощенцям {102.2}

равномерно относительно величин д;0, t, лежащих в области (102.1)1).

Доказательство. Согласно условию теоремы существует допускающая бесконечно малый высший предел функция V такая, что в области i-O, хН" выполняются неравенства

V(t X,.....x„)>WiiXi.....х„), (102.13)

- + tls<~WAXi.....х„), (102.14)

где Ui и - не зависящие от t определенно-положительные функции.

Пусть С > О - точный нижний предел функции Wi при условии x = fP. Тогда на основании (102.13) имеем:

Vit, Xl.....х„)У-С при д; = Я2, t>0. (102.15)

Так как V допускает бесконечно малый высший предел, то найдется такое положительное число 6, что будет справедливо неравенство

Vit, Xl.....х„)<С при д;<62, > 0. (102.16)

Покажем, что 6 и является искомым числом, фигурирующим в теореме. С этой целью рассмотрим произвольное положительное число е < 6 и обозначим через с > О точный нижний предел функции ttj при условии №у х&. На основании (102.13) будем иметь:

Vit,Xi.....х„)>с при Я2>д;>е2. О 0. (102.17)

Далее выберем настолько малое положительное число а < е, чтобы выполнялось условие

Vit, Xl.....хХс при x<a2, >0 (102.18)

и обозначим через / > О точный нижний предел функции W2 при условии Нха. Таким образом, на основании (102.14)

-< -/ при НхаК t>0. (102.19)

Рассмотрим теперь произвольное решение Xs = Fs(t. х1, ... .... х, уравнения (101.1), начальные значения которого х и лежат в области, определенной неравенствами (102.1).

) К. П. Персидский доказал, что при выполнении условий теоремы решения стремятся к нулю равномерно относительно to, а И. Л. Массера -что при тех же условиях решения стремятся к нулю равномерно относительно х°.

и покажем, что в интервале (Jt, tQ-\-T) найдется такой момент времени t = ti, для которого

В самом деле, рассмотрим следующее равенство:

/о+Г

V*{t, + T) = V(t,. х,.....xO)+J -dt. (102.20)

Если бы во всем интервале (iQ, io-\-T) было справедливо неравенство V*(t)yc и, следовательно, на основании (102.18) также и неравенство F>a2, то из (102.20) на основании (102.16) и (102.19) мы получили бы

V*itoT)<C-lT = c.

что противоречит условию. Таким образом, в интервале (tg, tQ--\-T) найдется такой момент времени, для которого V*(t)<c. Так как V* (t) - функция убывающая, то это неравенство будет справедливо при всех значениях

t>to~\-T.

Но тогда при всех ttQ-\-T будет на основании (102.17) выполняться неравенство х < е, что и доказывает теорему, так как число е можно взять сколь угодно малым.

Приведенное доказательство может быть проиллюстрировано геометрически (рис. 22).

При рассмотрении рисунка необходимо учесть, что уравнение Wi {xi.....х„) = k" при k, достаточно малом, представляет собой

Покажем прежде всего, что при всех tyt справедливо неравенство

F</f2.

В самом деле, функция V* (J:) - V (t, F,.....F„) на основании

(102.14) монотонно убывает и при / = о основании (102.1) и (102.16) V*{t)<C. (Следовательно, то же самое неравенство справедливо и при всех t > 0- Но тогда при всех > /q будет справедливо неравенство F < №, ибо если бы в какой-нибудь момент времени это неравенство нарушилось, то для этого момента на основании (102.15) мы имели бы V*{t)>C.

Обозначим теперь через Т (е) зависящее только от е положительное число, определяемое равенством