замкнутую поверхность, окружающую начало координат. Точно так же и уравнение V(t, .....x„)k представляет собой в пространстве переменных Хр . . ., х„ замкнутую поверхность, окружающую начало координат, но изменяющуюся с течением времени. При этом при всех >0 поверхность V = k" в силу (102.13) лежит внутри поверхности Wi = k и остается вне нгкоторой окрестности начала координат, так как V допускает бесконечно малый высший предел.

Поверхность U=C лежит внутри сферы x = tP и имеет с нею по крайней мере одну общую точку на (рисунке эта поверхность не показана). То же самое можно сказать и относительно поверхности U = c и сферы х - г.

Примечание. Для справедливости теоремы 2 нет, очевидно, необходимости, чтобы функции допускали частные производные. Достаточно, чтобы эти функции были непрерывными и такими.

чтобы была обеспечена единственность решений для уравнений (101.1). Впрочем, последнее условие также не существенно.

При доказательстве теоремы 1 мы видели, что при выполнении условий этой теоремы функция V будет не только допускать бесконечно малый высший предел, но и обладать ограниченными частными dV „

производными -jz- Поэтому, принимая во внимание теорему 2, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 3. Если для уравнений (101.1) существует определенно-положительная функция V, допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, то для этих уравнений существует функция V**, обладающая такими же свойствами и для которой

dV**

частные производные в некоторой окрестности начала

координат и при всех tyO ограничены).

Рис. 22.

1) Это утверждение было усилено в работах Я. Курцвейля (Об обращении второй теоремы Ляпунова об устойчивости движения, Чехосл. матем. журнал, 1956, т. 6 (81), № 2, стр. 217-259, № 4, стр. 455-484) и И. Массера (Contributions to stability llieory. Annals of Mailieraalics, 1956, т. 64, вып. 1, стр. 182-206), которые показали, что в случае равномерной асимпто-

тической устойчивости существует сколь угодно гладкая функция Ляпунова, если предполагать лишь, что правые части уравнения (101.1) непрерывны,

но не требовать существования производных -g. Кроме того, Я. Курцвей-

лем было показано, что поверхности V = с гомеоморфны сфере. Последний результат уточняет геометрическую интерпретацию теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

) Аналогичная теорема сформулирована в работе С. И. Горшина (Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями. Изв. АН Казахской ССР, № 58, 1948). Доказательство С. И. Горшина суще-ственио отличается от приведенного здесь, где теорема 4 оказывается следствием теоремы 1 о существовании функции Ляпунова.

Наряду с уравнениями (101.1) рассмотрим систему

= Х, it, X,.....х„) + (t, X,.....Л)- (102.21)

Здесь функции описывают постоянно действующие возмущающие факторы. Эти функции определены в области (101.2), где они непрерывны и таковы, что для уравнений (102.21) обеспечены условия единственности решений.

При этом функции R в отличие от функций не обращаются, вообще говоря, в нуль при х,= ... =х„ = 0.

В § 70 мы доказали, что если для уравнений (101.1) существует определенно-положительная функция V, производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенному

отрицательная, и если частные производные этой функции

в области (101.2) ограничены, то, тривиальное решение = ... ... = х„ = О устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Отсюда на основании теорем 1 и 3 мы приходим к следующему результату •).

Теорема 4. Если тривиальное решение х,= ... -х„ = 0 системы (101.1) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова и если при этом соотношения (102.2) выполняются равномерно относительно х° и t, лежащих в области (102.1), то это решение устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

ДОПОЛНЕНИЕ III. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА.

§ 103. Критерии, основанные на функциях Ляпунова со знакопостоянными производными.

Критерии асимптотической устойчивости, приведенные в § 10 (теорема Б) и в § 46 (теорема II), опираются на функции Ляпу-

нова V, производные которых в силу уравнений возмущенного

движения являются функциями знакоопределенными. В приложениях, особенно при исследовании устойчивости в большом и в целом нелинейных систем, иногда удается построить определенно-положи-

тельную функцию V, производная которой является лишь

функцией знакопостоянной отрицательной, но не определенно-отрицательной. Именно с этим случаем мы встретились в Дополнении I. В то же время попытки построить функцию Ляпунова V с определенно-отрицательной производной приводят к серьезным трудностям. Поэтому возникает необходимость сформулировать общий критерий, который указывал бы условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость невозмущенного движения при наличии лишь функции Ляпунова со знакопостоянной производной. В последнее время был предложен ряд таких критериев. По-видимому, наиболее ранними из них были теоремы, доказанные для систем уравнений, правые части которых не зависят явно от времени). Без существенных изменений эти критерии обобщаются на периодические по времени системы. Позднее были доказаны аналогичные критерии для общего случая нестационарных систем с использованием, однако, двух и более функций Ляпунова 2).

) Б а р б а ш и и Е. А., К р а с о в с к и й Н. Н., Об устойчивости движения в целом, ДАН, т. 86, вып. 3, 1952; Тузов А. П., Вопросы устойчивости для одной системы регулирования. Вестник ЛГУ, вып. 2, 1955.

2) Матросов В. М., Об устойчивости движения. ПММ, т. XXVI, gyn. 5, 196?.