Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 [152] 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) См. первую работу в сноске на стр. 463.

Приведем здесь одну теорему об асимптотической устойчивости в форме, близкой к той, которая предложена в работе Е. А. Барба-шина и Н. Н. Красовского

Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения

= .....х„), (5=1,2.....п) (103.1)

где правые части определенны, непрерывны и удовлетворяют условиям единственности решений в области

\Xs\<H (Я = const, или Н = оо). (103.2)

Как и раньше, предполагаем, что (0.....0) = 0.

Пусть V{Xi.....х„) - некоторая функция Ляпунова, имеющая

знакопостоянную отрицательную производную в силу уравне-

ний (103.1). Обозначим через М множество тех точек х из области < Я, где .~-~0. При этом, однако, не будем включать точку

Xi= ... =х„ = 0, где всегда- = 0. Тогда можно сформулировать следующий критерий асимптотической устойчивости.

Теорема Д. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (103.1) можно найти определенноположительную в области (103.2) функцию V такую, что ее

производная удовлетворяет в этой области условиям:

2) 4г== •

где Ж - многообразие точек \х, не содержащее целых движений Xgit) системы при О < / < оо, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Доказательство. Устойчивость невозмущенного движения следует из теоремы А (§ 9). Значит, для всякого О < е < Я найдется такое ц (е) > О, что любое возмущенное движение х (О системы (103.1), выходящее в момент времени t = tQ из области (.""«(о)! П- будет удовлетворять условию

дгЛ/)<е (103.3)

при всех ftg. Покажем, что эта устойчивость является асимптотической, т. е.

11тл;() = 0 при f-oo.



Так как 4<0, то at

V{Xi{t).....х„(0)<К(х,(о).....Xnit) при >о

и функция V{Xi{t).....x{t)) как невозрастающая и неотрицательная функция времени имеет определенный предел Vq при t-oo, причем

V{Xi{t).....>;„(0)>П при >о- (103.4)

Допустим, что VqtO. Из ограниченности области (103.3) вытекает, что найдется последовательность точек х<*> = fet) {k = ki, ...; т == const > 0), которая сходится к точке q с координатами X*.....X*, лежащей в области (103.3). Вследствие непрерывности функции V должно выполняться равенство V(x*.....х*- V.

Рассмотрим теперь движения xW> {t) и x<*i> {t), выходящие при t = tQ соответственно ий точек q и х(*/. Так как по условию теоремы движение х(*>{t) при tt <i со не может лежать целиком на многообразии М, то должны существовать такие интервалы вре-dV

мени. Когда < О вдоль этого движения. Значит, можно указать момент времени Т У- tQ, в который выполняется условие V{xf{T).....х№(Г)) = К, <Ко.

Так как последовательность х*/) сходится к точке q, то вследствие непрерывной зависимости рещений от начальных данных можно записать неравенство

max (I х[9 (Т) - xfi) (Г) ..... xW) (Г) - x(f«) (Г) 11 < 6

при всех А;>Л(6), каково бы ни было наперед заданное число 6 > 0. Следовательно,

UmV(xfi>{T)..... xi){T))V при А,--> сю. (103.5)

Вследствие независимости функций от времени справедливы равенства

х(*)(Г) = хДГ+А,т),

поэтому условие (103.5) можно записать таким образом:

lim 1(Xl(Г + kix).....х„{Т-{-kit)) < Vi при ki -> оо.

Это неравенство противоречит (103.4), поэтому наше допущение Vq =5 О неверно. Следовательно, Vq = О, т. е.

limV(Xi(0.....х„(0) = 0 при /->схэ



s=l

Заметим теперь, что если в случае = оо к условиям доказав-ной теоремы добавить требование, чтобы функция V {х.....х

удовлетворяла условию)

limV(x,.....x = <xi при х-со, (103.7)

где л; = та;с {lil..... \Хп\]> то получится критерий асимптотической устойчивости в целом.

В самом деле, рассмотрим возмущенное движение xit) системы (103.1), выходящее в момент времени из произвольной

точки пространства [х.....х„}. Условие (103.7) обеспечивает

ограниченность области

V{x,.....Xn)<V(x,{tg).....x„(/o)).

в которой будет оставаться движение х if) при всех tt <,со. Повторяя, далее, рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы, убеждаемся в том, что асимптотическая устойчивость имеет место при любых начальных возмущениях. Таким образом, при указанном дополнительном условии мы действительно имеем дело с устойчивостью в целом.

Мы рассмотрели теорему, обобщающую теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости. Можно сформулировать также критерий неустойчивости, который является обобщением соответствующей теоремы Ляпунова (теорема В § 13).

) См. примечание к стр. 68.

Итл;(/) = 0 при t-co.

Примечание. Если многообразие М есть поверхность, заданная уравнением

F{xp .... x„)==0, (103.6)

то условие

В области (103.3) является достаточным для отсутствия целых движений на М.

Действительно, если в некоторый момент t = ti траектория xif), выходящая из области >;(о) I П> попадает на поверхность (103.6), то сразу при / > /] она должна покинуть эту поверхность, так как



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 [152] 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0057