Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [153] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dt dV

< О при хфй,

at = при x==Q.

Многообразием М, о котором шла речь в теореме Д, является в данном случае ось у без точки х = у = 0. Так как при х - 0, уфО

: ау фО, то это многообразие не содержит целых движений.

кроме х = у = 0. Нетрудно, далее, заметить, что условие (99.2)

)Красовский Н. Н., Некоторые задачи об устойчивости движения, Физматгиз, 1959.

Теорема Е. Если для дифференциальных у равнений возмущенного движения (103.1) можно найти функцию K(Xj.....х„)

такую, что ее производная удовлетворяет условиям:

1) •>0 вне М;

2) - = 0 на М,

где М - многообразие точек \х\, не содержащее целых движений при О < < со, и если при этом можно указать точки, лежащие в произвольной окрестности начала координат, такие, что в них V>0, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство этой теоремы) приводить не будем.

§ 104. Примеры приложения предыдущих теорем.

В качестве первого примера, когда функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Д и условию (103.7), можно привести функции Ляпунова, построенные в Дополнении 1 при решении задачи М. А. Айзермана для систем (99.1) и (100.1).

В самом деле, рассмотрим, например, функцию

IV = 2 j lcf{x)~ abx] dx + (cx - ayf (a Ф 0).

Ее производная по времени в силу (99.1) равна dV

-ar = \f () + сх\ [cf {X) - аЬх].

При условиях, наложенных на функцию /(х) в § 98, имеем: dV



1дТ°

\ dqi I dqi

\ = bia (1 = 1, .... п). (104.2)

Здесь

Т=1> aoqqj, №=2 6?,.9,9у {chj, b\j, b\-постоянные).

) См. дополнение IV, § 106.

обеспечивает определенную положительность функции V и выполнение условия

\imV(x, у) = 00

при max {\х\, ]у} -*оо.

Таким образом, устойчивость невозмущенного движения системы (99.1) в целом действительно следует в данном случае из теорем § 103.

Приведем еще один пример приложения теорем Д и Е из предыдущего параграфа.

Рассмотрим голономную консервативную механическую систему с п степенями свободы, подверженную дополнительно управляющему воздействию и описываемую следующими уравнениями Лагранжа:

(104.1)

dt \ dqi I dqi dqi (г=1.....n).

Здесь qi- обобщенные координаты; Т- кинетическая, П - потенциальная энергия; и-скаляр, который характеризует величину

управляющего воздействия; biiqi.....q„)-функции, определяющие

направление силы и. Функции Г, П и 6,- заданы. Закон регулирования u = u(q, q; q[.....q является искомым.

Пусть при и=0 система (104.1) обладает положением равновесия qi = 0 (г=1.....п). Равновесие консервативной механической

системы не может быть асимптотически устойчивым по Ляпунову, так как эти системы допускают интеграл энергии. Задача состоит в таком выборе управления u{q, q), при котором положение равновесия становится асимптотически устойчивым. Упрочнение равновесия до асимптотической устойчивости выбором и назовем стабилизацией системы. Систему будем называть стабилизируемой, если возможна ее стабилизация).

Рассмотрим уравнения первого приближения системы (104.1) в окрестности точки q = О, q ~ 0:



= X2i, (1=1.....«).

(104.4)

где вектор {el} связан с вектором {б?} неособым линейным преобразованием; Х21 1 - новые координаты, Х21 - скорости.

Рассмотрим сначала случай, когда все числа в уравнениях (104.4) положительны. Тогда при и = 0 невозмущенное движение х,=0 системы (104.4) устойчиво, но не асимптотически. Предположим, что все Xl различны и все числа eR не равны нулю.

Тогда систему (104.4) можно стабилизировать до асимптотической устойчивости диссипативной силой 2)

= -тгг (= 1- • •

где RP-знакоположительная функция Релея

/1 \2

(104.5)

RP =

Действительно, функция

равная полной энергии системы, является в этом случае определенно

положительной. Ее производная

dV dt

в силу системы (104.4) при и

) Ч е т а е в Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1955, стр. 97-99.

) См. П о ж а р и ц к и й Г. К., Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией. ПММ, т. XXV1IL вып 3. 1964.

Будем говорить, что управление

ииНд. g)=={p1gi + r4gl) (104.3)

(р° = const, г° = const),

найденное для уравнений (104.2), стабилизирует систему (104.1) по

первому приближению, если равновесие д. = д. = 0 (i=l.....п)

системы (104.1) асимптотически устойчиво при и = u°-{-ii{g, д), каковы бы ни были высшие нелинейные члены Т - Г", П - П", ц = и - и°.

Запишем уравнения (104.2) в нормальных координатах):



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [153] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017