Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [154] 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dV dt

(104.7)

и является функцией знакопостоянной отрицательной. Покажем, что поверхность

где - = 0, не содержит целых движений х{Ь) системы (104.4),

отличных от - 0. Действительно, если бы это было не так, то выполнялись бы п равенств:

\l = \

(104.8)

(A= 1.....« - 1),

И, в частности, при некотором t - t* система (104.8) имела бы не тривиальное решение х-ц (*)- Но это невозможно, так как при наших

предположениях {е\фО, Xфkr, 1ф]\ /=1.....п; j=\...../г)

определитель

4 е%

А.1 «1, Лг «2 • • •> Л.„ е„

• • • пл

Итак, в данном случае выполнены все условия теоремы Д. Тем самым доказана асимптотическая устойчивость движения х, = 0 системы (104.4) при воздействии и, определенном равенством (104.5). Из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению заключаем, что управляющее воздействие и вида

biU =

(=1.....ri).


из (104.3) удовлетворяет равенству



(/= 1.....п). (104.11)

Ограничимся в дальнейшем случаями, когда среди собственных чисел ki нет нулей.

Вопрос о том, каким образом вычисляются гироскопические силы, обладающие указанными свойствами, а также вывод эффективных критериев, при которых это вцчислечие возможно, здесь рассматривать

стабилизирует до асимптотической устойчивости нелинейную систему (104.1).

Предположим теперь, что невозмущенное движение - 0 системы (104.4) при и = 0 неустойчиво и, следовательно, среди чисел есть отрицательные. Предположим при этом, что в одном из уравнений (104.4), где A.jj < О, имеем е° = 0. Тогда, очевидно, движение л; = 0 системы (104.1) нельзя сделать асимптотически устойчивым, как бы ни выбирать воздействие и в форме

.....x„) = v,x,H- ... +у„х„. (104.10)

Действительно, система первого приближения (104.4) при выборе и в виде (104.9) всегда будет иметь среди своих собственных чисел Pi • • • • Р2л по крайней мере одно положительное число р.<= к. Отсюда по теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению заключаем, что движение q = q-0 системы (104.1) при и (104.10) неустойчиво. Следовательно, в этом случае стабилизация системы (104.1) по первому приближению невозможна.

Подчас удается, налагая на систему (104.1) сверх и дополнительные гироскопические силы, изменить систему (104.4) первого приближения так, что движение х = 0 этой системы становится устойчивым (неасимптотически), и при этом для новой системы первого приближения будут выполняться достаточные условия, при которых возможно упрочнение системы до асимптотической устойчивости выбором воздействия и вида (104.5). Эти условия указаны теоремой 1 § 112.

Гироскопические силы описываются в линейном приближении Qi кососимметрической матрицей {g°ij}(g°ij = - g°ji) (g-°y - постоянные),

Qt = gbx2j.

Поэтому уравнения (104.4) после наложения гироскопических сил принимают вид



не будем. Отметим лишь следующее. Согласно общей теории указанная математическая задача будет решена, если будет найдена косо-симметрическая матрица {gy}. описывающая в линейном приближении гироскопические силы, такая, что при добавлении в уравнения (104.2) членов gijj система первого приближения будет удовлетворять условиям общего положенияЭто можно сделать в широком классе случаев.

Простым примером такой ситуации является маятник с двумя степенями свободы (J, г\) в окрестности верхнего неустойчивого положения равновесия,

управляемый моментом и, воздействующим * на координату ф (рис. 23).

Гироскопический эффект, возникающий при быстром вращении маховичка т, делает систему устойчивой. Пусть система уравнений первого приближения (104.1) записана в данном случае в виде


"•1 ~ "2, Х2 = - OW4, хз = х, х = х + (ах2 + и,

(104.12)

где величины л:,, лг, изображают координаты н % величины ATj, Xf - ско)ости к т], а величина © пропорциональна скорости вращения маховичка т вокруг стержня li-

Рис. 23. Легко проверить, что в данном случае

выполняются условия теоремы 1 § 112. В самом деле, матрица W в данном случае имеет вид

О О -со О

О -а О - 2©--(оз

0 1 О 1-©2

1 О 1 -©2 О

и ранг ее равен 4.

Итак, мы рассматриваем случаи, когда система (104.4) неустойчива и ее, а следовательно, и исходную систему (104.1) нельзя стабилизировать выбором управления и в виде (104.9). Однако после наложения на (104.1) гироскопических сил Qj получаем систему

d dt

дТ , дИ

(104.13)

) См. Дополнение IV, § 112-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [154] 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.009