dV dt

(104.7)

и является функцией знакопостоянной отрицательной. Покажем, что поверхность

где - = 0, не содержит целых движений х{Ь) системы (104.4),

отличных от - 0. Действительно, если бы это было не так, то выполнялись бы п равенств:

\l = \

(104.8)

(A= 1.....« - 1),

И, в частности, при некотором t - t* система (104.8) имела бы не тривиальное решение х-ц (*)- Но это невозможно, так как при наших

предположениях {е\фО, Xфkr, 1ф]\ /=1.....п; j=\...../г)

определитель

4 е%

А.1 «1, Лг «2 • • •> Л.„ е„

• • • пл

Итак, в данном случае выполнены все условия теоремы Д. Тем самым доказана асимптотическая устойчивость движения х, = 0 системы (104.4) при воздействии и, определенном равенством (104.5). Из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению заключаем, что управляющее воздействие и вида

biU =

(=1.....ri).

из (104.3) удовлетворяет равенству

(/= 1.....п). (104.11)

Ограничимся в дальнейшем случаями, когда среди собственных чисел ki нет нулей.

Вопрос о том, каким образом вычисляются гироскопические силы, обладающие указанными свойствами, а также вывод эффективных критериев, при которых это вцчислечие возможно, здесь рассматривать

стабилизирует до асимптотической устойчивости нелинейную систему (104.1).

Предположим теперь, что невозмущенное движение - 0 системы (104.4) при и = 0 неустойчиво и, следовательно, среди чисел есть отрицательные. Предположим при этом, что в одном из уравнений (104.4), где A.jj < О, имеем е° = 0. Тогда, очевидно, движение л; = 0 системы (104.1) нельзя сделать асимптотически устойчивым, как бы ни выбирать воздействие и в форме

.....x„) = v,x,H- ... +у„х„. (104.10)

Действительно, система первого приближения (104.4) при выборе и в виде (104.9) всегда будет иметь среди своих собственных чисел Pi • • • • Р2л по крайней мере одно положительное число р.<= к. Отсюда по теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению заключаем, что движение q = q-0 системы (104.1) при и (104.10) неустойчиво. Следовательно, в этом случае стабилизация системы (104.1) по первому приближению невозможна.

Подчас удается, налагая на систему (104.1) сверх и дополнительные гироскопические силы, изменить систему (104.4) первого приближения так, что движение х = 0 этой системы становится устойчивым (неасимптотически), и при этом для новой системы первого приближения будут выполняться достаточные условия, при которых возможно упрочнение системы до асимптотической устойчивости выбором воздействия и вида (104.5). Эти условия указаны теоремой 1 § 112.

Гироскопические силы описываются в линейном приближении Qi кососимметрической матрицей {g°ij}(g°ij = - g°ji) (g-°y - постоянные),

Qt = gbx2j.

Поэтому уравнения (104.4) после наложения гироскопических сил принимают вид

не будем. Отметим лишь следующее. Согласно общей теории указанная математическая задача будет решена, если будет найдена косо-симметрическая матрица {gy}. описывающая в линейном приближении гироскопические силы, такая, что при добавлении в уравнения (104.2) членов gijj система первого приближения будет удовлетворять условиям общего положенияЭто можно сделать в широком классе случаев.

Простым примером такой ситуации является маятник с двумя степенями свободы (J, г\) в окрестности верхнего неустойчивого положения равновесия,

управляемый моментом и, воздействующим * на координату ф (рис. 23).

Гироскопический эффект, возникающий при быстром вращении маховичка т, делает систему устойчивой. Пусть система уравнений первого приближения (104.1) записана в данном случае в виде

"•1 ~ "2, Х2 = - OW4, хз = х, х = х + (ах2 + и,

(104.12)

где величины л:,, лг, изображают координаты н % величины ATj, Xf - ско)ости к т], а величина © пропорциональна скорости вращения маховичка т вокруг стержня li-

Рис. 23. Легко проверить, что в данном случае

выполняются условия теоремы 1 § 112. В самом деле, матрица W в данном случае имеет вид

О О -со О

О -а О - 2©--(оз

0 1 О 1-©2

1 О 1 -©2 О

и ранг ее равен 4.

Итак, мы рассматриваем случаи, когда система (104.4) неустойчива и ее, а следовательно, и исходную систему (104.1) нельзя стабилизировать выбором управления и в виде (104.9). Однако после наложения на (104.1) гироскопических сил Qj получаем систему

d dt

дТ , дИ

(104.13)

) См. Дополнение IV, § 112-