Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 [155] 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

не может при этом содержать целиком движений д: () (s= 1.....2я)

системы (104.10), отличных от д: = 0 (s=l.....2п). Такое же

свойство приобретает система (104.1): поверхность

/ " \

R(Q. q) = Y\biqi

системы (104.1) не может при этом содержать целиком движений {q,(t). gs(t)} системы (104.13), отличных от qi(i) = q.(i) = 0 Здесь мы примем это утверждение без доказательства.

Теперь можно доказать следующее интересное свойство системы (104.13) в рассматриваемом случае.

Теорема 1. Пусть консервативная система (104.1) в первом приближении (104.2) неустойчива и не стабилизируема воздействием и. Предположим, что при наложении подходящих гироскопических сил система (104.2) переходит в устойчивую и стабилизируемую систему (104.11). Тогда система (104.13) стабилизируется по первому приближению силой (104.3) в классе сил общей природы. При атом, однако, система (104.13) не только не может быть стабилизирована диссипативной силой (104.9) но, напротив, диссипативная сила (104.9) с частичной диссипацией обязательно разрушает устойчивость, которой обладает система (104.13) при и = 0.

Примечание. Теорема 1 утверждает, следовательно, что диссипативная сила и (104.9) с частичной диссипацией обязательно разрушает устойчивость системы (104.13), если только гироскопическая устойчивая система может быть упрочнена по первому приближению до асимптотической устойчивости силой (104.3) общей природы.

Доказательство теоремы 1. Итак, следует показать, что диссипативная сила (104.9) обязательно разрушает устойчивость положения равновесия 9 = 0 системы (104.13), если только при наложении гироскопических сил неустойчивая система (104.1)

) Красовский Н. Н., Об одном свойстве гироскопической стабилизируемости управляемой консервативной механической системы. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 5, 1964.

для которой система первого приближения (104.10) приобретает свойство стабилизируемости.

Оказывается в таких случаях система (104.4) приобретает обязательно еще одно важное свойство: поверхность



) См. монографию, упомянутую в сноске на стр. 342.

переходит в стабилизируемую по первому приближению систему (104.13). Покажем это.

Функция V = H(q, q) вида (104.6), где Н - полная энергия системы (104.1), в рассматриваемом случае является знакопеременной.

Ее производная вдоль движений системы (104.12) при управлении и (104.9) удовлетворяет равенству

Следовательно, величина является знакоотрицательной функцией

и может обращаться тождественно в нуль лищь при R(q(t), q (t)) = 0. Но, как только что отмечено, не существует движения (0. 9((0}> отличного от положения равновесия и такого, что на нем /? = 0. Следовательно, движений [qi(t), Я[(Щ> отличных от 9;==0, qi = 0

(i=l.....re), на которых-=О, нет. Это означает, что функция V удовлетворяет в данном случае всем условиям теоремы о неустойчивости. Следовательно, неустойчивость положения равновесия системы (104.13) установлена.

В заключение отметим, что этот результат для управляемых механических систем тесно связан с результатами Н. Г. Четаева ) о влиянии диссипативных сил на устойчивость равновесий механических систем.



ДОПОЛНЕНИЕ IV. ПРОБЛЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДВИЖЕНИЙ.

§ 105. Предварительные замечания.

В последнее время получила большое развитие теория оптимальных процессов в управляемых динамических системах. Этой теории посвящен ряд фундаментальных монографий, появившихся в последние годы Среди проблем оптимального управления занимает важное место задачи о стабилизации заданного движения. Это - задача о построении регулирующих воздействий, которые обеспечивают устойчивое осуществление желаемого движения при наилучшем возможном качестве переходного процесса. Задача об оптимальной стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения, составляющей предмет настоящей монографии. Она является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем. Методы исследования проблем оптимальной стабилизации переплетаются с классическими методами теории устойчивости Ляпунова. В частности, метод динамического программирования, один из основных в задачах оптимального управления является по существу объединением методов вариационного исчисления с методом функций Ляпунова.

В монографиях по теории оптимальных процессов, посвященных весьма общим аспектам этой теории, указанное обстоятельство не выдвигается, естественно, на первый план и не рассматривается специально с позиций теории устойчивости Ляпунова. В то же время развитие проблем оптимального управления и методов их решения определило некоторые новые направления исследований по устойчивости регулируемых движений. Эти исследования тесно связаны

)Понтрягии Л. С, Болтянский В. Г., ГамкрелидзеР. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов, М., Физматгиз, 1961; Б е л л м аи Р.. Г л и к с б е р г И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, М., Изд-во иностр. лит-ры, 1962; Фельдбаум А. А., Основы теории оптимальных автоматических систем, М., Физматгиз, 1963.

) См. монографию Беллмана и др., упомянутую в сноске ).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 [155] 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.008