Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [156] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) Л е т о в А. М., Аналитическое конструирование регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. XXI, № 4, 5, 6, 1960; т. XXII, № 4, 196 ; т. XXIII, № 11, 1962.

с материалом настоящей монографии. По указанным причинам мы сочли целесообразным дать настоящее приложе[1ие к книге И. Г. Малкина.

Это приложение содержит краткий очерк некоторых проблем стабилизации управляемых движений и методов их решения. При этом выбран лишь тот материал, который имеет прямое отношение к содержанию монографии. Автор приложения старался в меру возможности согласовать характер изложения с основным текстом книги.

В основу материала настоящего приложения легли исследования, выполненные в последние годы и имеющие своим источником проблему аналитического конструирования регуляторов, поставленную А. М. Летовым

§ 106. Постановка задачи о стабилизации.

Рассмотрим некоторую управляемую динамическую систему и допустим, что ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений, которая может быть приведена к нормальному виду

%ys(t.yi.....Уп. 1.....г) (106.1)

(5=1.....«).

Здесь, как и в уравнениях (2.1), переменные -это некоторые параметры, связанные с движением, например координаты, скорости и т. д. Уравнения (106.1) отличаются от уравнений (2.1) тем, что здесь фигурируют величины .....v, которые описывают управляющие воздействия, приложенные к рассматриваемому объекту. Такие воздействия не исключались, конечно, и выше всюду в тексте книги при изучении движений, описываемых уравнениями (2.1). Функции Vjit) могли входить неявно в правые части уравнений (2.1) и в правые части вытекающих из них уравнений возмущенного движения (3.2). Однако сейчас эти переменные Vj фигурируют явно и играют центральную роль во всем дальнейшем изложении.

Предположим, что нас интересует какое-либо частное движение нашей системы, порождаемое управляющими воздействиями Vj = pj{t) (у = 1, ... г). Этому движению соответствует некоторое частное решение 3 = /(0 (5= Ь • • •• уравнений (106.1) (при Vj = Pj{t)). Как и выше, будем это движение называть невозмущенным. Наряду с невозмущенным движением {Д(0} будем рассматривать возмущенные движения {у()). Предполагается, что возмущенные движения у(/)



также описываются уравнениями (106.1) но уже при значениях Vj(t), отличных, вообще говоря, от величин pj(t). Отклонения Vj(t)-pj{t) переменных Vj от Pj(t) обусловливают здесь специфические особенности задачи об устойчивости движения у = /(0- Проблема стабилизации невозмущенного движения у = /j(0> собственно, и состоит в таком выборе величин Avj=:Vj-Pj((), при которых движение у = f(t) оказывается устойчивым.

Для исследования проблем стабилизации целесообразно составить уравнения возмущенного движения управляемой системы, перейдя к новым переменным

Xs = ys-fsit) Uj = Vj~Pj{t) (106.2)

(5=1.....п; j=h г),

где, следовательно, д: - возмущения движений, «у - отклонения управляющих воздейстБий от величин Pj(t).

Полученные таким образом преобразованные уравнения

=X{t, . . ., х„; «1.....«,) =

= Y,{t, *i + /i.....Xn + fn> + .....u, + p;) -

-Ysit. fi...../«; Pi.....Pr) (106.3)

(5=1.....n)

мы и будем рассматривать в дальнейшем.

Теперь можно сформулировать задачу о стабилизации.

Задача I (о стабилизации). Требуется найти такие управляющие воздействия и (t, Xi.....х„).....u(t, Xi.....х,

которые обеспечивают асимптотическую устойчивость невозмущенного движения х = 0 в силу уравнений (106.3) (при

Uj = uO(t. Xl. х„)).

Реальной основой для сформулированной задачи I является следующая ситуация. Предполагается, что в ходе регулирования можно

измерять текущие значения всех координат x(t) (5=1.....п). На

основе этого измерения управляющее устройство должно вырабатывать воздействия Uj(t, Xi(i).....х„(0) (У= 1.....г)т объект.

Эти воздействия должны обеспечивать асимптотическую устойчивость заданного невозмущенного движения х = 0.

По смыслу величин х и «у (106.2) предполагается, что функции

Uj(t, Xl.....х„), определение которых составляет задачу I, должны

удовлетворять равенствам

«у(/. 0.....0) = 0 (у= 1.....г). (106.4)



Будем предполагать, что функции Uj{t, Ху.....х„) должны быть

определены и непрерывны в области

t>0, \Xs\< Н, (s= 1.....п), (106.5)

где заданы функции Х, являющиеся правыми частями уравнений (106.3). Кроме того, примем, что функции Х и Uj удовлетворяют условиям, которые обеспечивают существование и единственность решений д: при любых начальных условиях t, х,((о) из области (106.5). Мы будем исследовать задачу о стабилизации, предполагая, что

функции Uj(t, Xi.....х„) не стеснены никакими дополнительными

неравенствами, т. е. предполагается, что в (106.3) переменные Uj могут принимать любые, сколь угодно большие значения. В соответствии с этим считаем, что функции Х определены при и д: из области (106.5) для всех значений - оо<«у < -- оо (у=: 1.....г).

Задача о стабилизации сформулирована нами для случая асимптотической устойчивости. Наряду с этой задачей можно изучать задачу о стабилизации, которая содержит более слабое требование лишь устойчивости заданного движения д: = 0. Однако здесь мы ограничимся только более грубой проблемой о стабилизации управляемой системы до асимптотической устойчивости.

§ 107. Постановка задачи об оптимальной стабилизации.

Прикладные задачи о стабилизации наряду с требованием асимптотической устойчивости заданного движения х = 0 содержат обычно пожелания о наилучшем возможном качестве переходного процесса, т. е. пожелания о наилучшем (с какой-либо точки зрения) качестве возмущенного движения д:(/) в процессе его приближения к состоянию д: = 0 при /->-оо. При этом обычно высказывается также пожелание о наименьшей возможной затрате ресурсов (энергии, импульсов и т. д.), расходуемых на формирование управляющих воздействий

Uj(t, Xi.....д:„). Такие пожелания часто можно выразить в виде

условия минимальности некоторого интеграла

/= J (о(/, хаП.....xjty, ит.....u,[i])dt. (107.1)

Здесь (x>(t, Xi.....х„, Й!.....«r) - неотрицательная функция,

определенная в области (106.5). Символом Ujlt] будем обозначать

величины управляющих воздействий Uj[t]= Uj(t, Xi\t].....Xn[t])

(в функции только от времени), которые реализуются в системе (106.3)

при Uj = Uj(t, Xi.....х„). При этом символы д:[/] обозначают

как раз те движения системы (106.3), которые порождаются управлением Uj [i] = Uj (t, Xi [i].....Xnli]). Иногда, чтобы подчеркнуть,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [156] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0027