Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

что движение д:[] порождается некоторым фиксированным управлением йу = «у (t, Xj.....д:„), будем снабжать символы д: [/] и Uj [t]

индексом *, т. е. будем писать д:* [t] и к* 1].

Вопрос о выборе функции со, определяющей оценку качества / (107.1) процесса x{t). здесь подробно обсуждать не будем. То или иное решение этого вопроса определяется б каждом случае конкретными особенностями рассматриваемой прикладной задачи. Заметим лишь, что обычно при выборе функции со ведущие роли играют следующие три мотива.

1. Условие минимума интеграла (107.1) должно обеспечивать достаточно быстрое затухание движений д:[].

2. Величина интеграла / должна удовлетворительно оценивать ресурсы, затрачиваемые на формирование управляющих воздействий Uj[t].

3. Функция (О должна быть такой, чтобы решение задачи не оказалось чрезмерно трудным и чтобы по возможности это решение можно было получить в замкнутой форме.

В частности, условиям 1 - 3 во многих случаях удовлетворительно отвечает функция (x>(t, Xi.....х„; й,.....и), выбранная

в виде определенно положительной квадратичной формы

(0= 2 aijXiXj+ 2 (107.2)

i,j = l i,i = l

Задачу о стабилизации системы (106.3) при условии минимума какого-либо критерия качества / (107.1) будем называть задачей об оптимальной стабилизации. Следовательно, эта проблема формулируется так:

Задача II (об оптимальной стабилизации). Пусть выбран критерий качества процесса x{f) в виде интеграла (107.1). Требуется найти такие управляющие воздействия uit,

Xj..... д:„)..... й°(Л д:,..... д:„), которые обеспечивают

асимптотическую устойчивость невозмущенного движения

д: = 0 8 силу уравнений (106.3) [при Uj = uj(t, х...... •л) )•

При этом каковы бы ни были другие управляющие воздействия

u*jt, Xj.....ху решающие задачу I, должно выполняться

неравенство

/ »(л хЧт.....хЩ; иЧШ.....йО[л)л<

< J(o(<, xllt].....xW; u\[t].....u;it\)dt (107.3)



для всех начальных условий t, xito) из области

о>0. *.Ю1<Л. (107.4)

Здесь положительная постоянная ц или задана заранее по условиям задачи, или эта величина имеет тот же смысл, что и величина т] в постановке задачи об устойчивости (см. стр. 16).

В частности, если речь идет о задаче об оптимальной стабилизации в целом, то условие (107.3) должно выполняться для всех начальных возмущений д:(о) "зк бы велики они ни были.

Функции й. Xj.....д:) (У=1.....г), разрещающие задачу II, будем называть оптимальным управлением.

Задача II об оптимальной стабилизации предъявляет к функциям больще требований, чем задача I к разрешающим ее функциям Uj. Однако исследование и решение задачи II облегчаются тем обстоятельством, что эта проблема, как правило, имеет единственное решение и)(/, х, . . ., ху Напротив, выбор функций

Uj(t, Xi.....х„), решающих задачу I, обычно содержит большой

произвол. По этой причине часто оказывается целесообразным такой путь рещения задачи I.

Для исключения произвола в выборе функций Uj(t, х,, . , ., х„) вводят в условия этой задачи вспомогательное условие (107.3) минимума некоторого интеграла / (107.1), хотя может быть исходная проблема стабилизации никаких явных условий оптимальности не содержит. Тем самым исходная задача I превращается во вспомогательную задачу II. При этом, естественно, функция со в (107.1) должна выбираться так, чтобы решение вспомогательной задачи II было возможно более простым. При решении сложных проблем стабилизации вспомогательные задачи II могут также вводиться лишь на отдельных этапах (см. сноску на стр, 492).

Материал настоящего приложения посвящен исследованию задач I и II методами, опирающимися на основные идеи классической теории устойчивости движения.

§ 108. Пример задачи о стабилизации.

В Ka4etTBe примера рассмотрим задачу о переводе точки, находящейся под действием центральной силы F, с некоторой эллиптической траектории на круговую орбиту, достаточно близкую к "эллиптической. Эту задачу можно сформулировать как проблему стабилизации невозмущенного движения, соответствующего заданной орбите.

Будем полагать, что движение точки управляется реактивной силой R; тогда масса точки т является величиной переменной и ее



движение будет описываться известным уравнением Мещерского)

dv dt

m = F + R, (108.1)

где m(0=:ffto+mi(0. mo=const, mi(0>0. R = (a - v).

V - скорость точки, a - скорость частицы dnii в момент t-\-dt после ее отделения от точки, так что с=а - v есть относительная скорость отделяющейся частицы.

Если вектор реактивной силы R во все время движения точки остается в плоскости первоначальной траектории, то движение точки будет плоским и оно вполне будет определяться изменением ее полярных координат г и ф.

Дифференциальные уравнения, описывающие изменение г и ф, можно получить, если спроектировать векторное уравнение (108.1) на направление радиуса движущейся точки и перпендикулярное к нему направление. Известно 2), что проекции вектора ускорения dv

w ~ -щ- на указанные направления вычисляются по формулам

Wj - r - Гф2, W(p= 2Гф + Гф.

Тогда можно записать два дифференциальных уравнения, каждое из которых есть уравнение второго порядка относительно г и ф:

m(r - r)==F + R,, m-- = rR,

dmt г, dm,

dt Ф -dt

а С, и Сщ-проекции относительной скорости отделяющейся частицы на направление радиуса и поперечное направление, соответственно.

Разделив оба уравнения на т (t) и полагая, что сила Р есть сила всемирного тяготения, окончательно получим:

dr ц , •, , d\nm

йГ = -7г + ф + Сг-5г-

d , „• d\nm

(108.2)

Здесь ц = fM, f - постоянная всемирного тяготения, М - масса притягивающего тела, которую мы считаем большой по сравнению сти поэтому принимаем ее неподвижной.

) Мещерский И. В., Работы по механике тел переменной массы, Гостехиздат, 1949.

) Суслов Г. К., Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0074