Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Предположим теперь, что задана некоторая круговая орбита радиуса Гд и достаточно близкая к круговой эллиптическая траектория, по которой точка движется под действием только силы притяжения, пока реактивная сила отсутствует. Примем движение точки по круговой орбите за невозмущенное. Требуется определить закон изменения массы, следуя которому движение точки могло бы с течением времени неограниченно приблизиться к движению по круговой орбите.

d\nm

Обозначая ГдСф-- = «, = yi. г = у2 и вводя новую координату уз = г2ф, запишем уравнения (108.2) в нормальной форме:

- = - - 4--4-г»«

(108.3)

Полагая величины сиСф[ постоянными во все время движения, т. е. считая, что выброс массы производится ориентированно отно-

сительно системы координат, связанной с точкой, имеем b = -- =

= - = const. Невозмущенное движение нашей точки определится.

очевидно, соотношениями у1 = Го, у2 = 0, узуцгд, которые представляют собой частное решение системы (108.3) при « = 0, соответствующее движению по круговой орбите.

Положим = уг - Гд, Х2 = у2, д;з = Уз-V\iq и, подставляя в (108.3), получим дифференциальные уравнения возмущенного движения:

= Х2,

= U+f,(Xp X, ЛГз),

dt dXi

= aXi-\-pxz + bu--\- fixp x, x),

(108.4)

где обозначено a = -

a функции /2 и /з раскла-

дываются в некоторой окрестности точки Xi = Х2 = х=0 в ряды по степеням Хр Xj, х, начинающиеся членами не ниже второго порядка.

Итак, задачу, поставленную в начале параграфа, можно сформулировать следующим образом: найти функцию и- и {Хр Xj, х.



характеризует известным образом качество переходного процесса, оценивая малость величин x{t), а интеграл

оо оо

{ y\u\dt = - f = ln5+iL( J J dt /По

и, <о

определяет запас переменной массы /и, в начальный момент управления 0- Итак, переход на круговую орбиту можно осуществить за счет минимальных управляющих ресурсов и вместе с тем при хорошем качестве переходного процесса, если удастся найти оптимальное управление и°, для которого

/uo(Xio, 20. Л:зо)</« (ЛЮ. .«20, х)

при любых Xiu (г= 1, 2, 3) и для всех и, решающих задачу I.

обращающуюся в нуль при Xi = = х = 0 и такую, чтобы тривиальное решение системы (108.4) было асимптотически устойчивым при достаточно малых начальных возмущениях (д) = /о (=1. 2, 3). Эти возмущения определяются в момент включения управляющего воздействия. Таким образом, получаем задачу I (о стабилизации). Очевидно, что решение этой задачи не является единственным.

Допустим, что к переходному процессу и управляющему воздействию и предъявлены некоторые требования. Например, требуется, чтобы переходный процесс, характеризующийся значениями Xj (t), 2(0> х{() при > 4, затухал достаточно быстро, и одновременно желательно, чтобы количество переменной массы, израсходованной на управление, было бы при этом не слишком велико. Для этого надо среди всех управляющих воздействий, решающих задачу I (допустимых управлений), определить такое управление и°{Хх, х - оптимальное управление, - которое минимизирует некоторую цену качества, определяемую изложенными выше требованиями. Таким образом, получим задачу II (об оптимальной стабилизации).

Для нашего примера целесообразным критерием качества был бы интеграл

fuiio. 20- зо)= / (h? + 12i + l34+Yl«l)rf. (108.5)

где р.1, р.2. р.3-некоторые положительные константы, а у = • В самом деле, интеграл



) См. его монографию, упомянутую в сноске на стр. 475.

Однако два обстоятельства вынуждают отказаться от критерия (108.5), несмотря на всю его целесообразность.

Во-первых, неаналитичность подынтегральной функций приводит к трудоемким вычислениям при определении оптимального управляющего воздействия, а в замкнутой форме найти решение вряд ли возможно. Во-вторых, по той же причине структура алгоритма управления получается весьма сложной, а потому технически трудно осуществимой.

Учитывая указанные обстоятельства, можно предложить вместо (108.5) в качестве критерия оптимальности интеграл

/„(10. 20- 30)= / ((XiX2+li24 + li34 + Y«2)rf (108,6)

который несущественно отличается от (108.5) лишь в части, характеризующей расход переменной массы, но зато позволяет найти оптимальное управление в замкнутой форме и простое по своей структуре. Решение этой задачи будет приведено после изложения общей теории (см. § ИЗ).

§ 109. Второй метод Ляпунова для задач об оптимальной стабилизации.

В этом параграфе мы изложим основную теорему второго метода Ляпунова исследования проблем оптимальной стабилизации. Эта теорема является модификацией теоремы II Ляпунова (см. стр. 195), причем учитываются соображения метода динамического программирования Р. Беллмана).

Рассмотрим дифференциальные уравнения возмущенного движения

= Xs(t; Хг.....х„; «1.....и,) (s=l.....и), (109.1)

где функции определены в области

>0. \Xs\<fi (109.2)

и удовлетворяют в этой области всем условиям, перечисленным в § 106.

Как и в теореме II, нам придется рассматривать функции Ляпунова У(/, Хг.....х„), определенно-положительные в области (109.2).

Существенную роль будет играть одно выражение, которое мы обо-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019