Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [159] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

значим символом S[V; t; Xi, .... х„; щ.....и]:

B[V; t; Хх.....х„; .....и,] =

+ Хх.....х„; щ.....и,). (109.3)

Здесь (О - функция, определяющая показатель (107.1) качества регулирования.

Очевидно, если при некотором выборе функции V{t, х.....х„)

и функций Uj - u.[t; Xj.....х (/=1.....О в области (109.2)

выполняется равенство

B\V; t; х.....х, а\.....<]=0, (109.4)

то это означает, что производная функции V в силу уравнений (106.3) при u. = Uj{t, Xj, .... х удовлетворяет в этой области равенству

= 1. «)- (109.5)

Основная теорема об оптимальной стабилизации, которую мы в дальнейшем будем называть теоремой IV, может быть сформулирована следующим образом.

Теорема IV. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (109.1) можно найти допускающую бесконечно малый высший предел определенно положительную функцию V(, Xj.....х и функции и°.Xj, .... х, удовлетворяющие в области (109.2) условиям:

1) функция

( 1.....„)=®(; V «?(; •••• «) •••

является определенно положительной;

2) справедливо равенство

B[V\ t;x,.....х„; u\{t, х.....х), ...

• u°{t, Xj.....„)] = 0; (109.6)

3) каковы бы ни были числа Uj, справедливо неравенство

B{V; t; X,.....х„; «1, .... tt,]>0, (109.7)



то функции u)(t, Xj.....x„) разрешают задачу II об оптимальной стабилизации. При этом выполняется равец.ство

Jх\Щ.....хО Щ; и\Щ, .... «om)rf/ =

= min J й)(/. xiM.....x„m; «iW.

= V°(o. i(o).....x„{tg)). (109.8)

Примечание. Как отмечено выше в книге (см. стр. 38, 195), функции V, удовлетворяющие условиям теорем Ляпунова об асимптотической устойчивости, не только устанавливают сам факт устойчивости, но и позволяют оценить область

,(о)1<Л {s=\.....и) (109.9)

тех начальных возмущений х(/о). для которых выполняются неравенства

\Xs{t)\<H i(to.s=\.....и) (109.10)

и предельное соотношение

limxJOO при /->оо. (109.11)

При u. = u)(t, Xj.....х) в уравнениях (109.1) функция V"

удовлетворяет условиям теоремы II об асимптотической устойчивости. Число т), определяющее область (109.9), в соответствии с изложенным в § 10 может быть, следовательно, найдено из соотношения

sup {К0(/, Xi, . . ., х„) при xJ<Ti}<

<inf{Vf>{(. Хр .... х„) при max(xi.....х„)=гЛ}, (109.12)

где h - некоторое положительное число, меньшее чем Н {it(,Q). Будем считать число h фиксированным.

Утверждение теоремы IV, выражаемое неравенством (109.8), надо

понимать в следующем смысле: при Uj = и) (t, Xj.....х) интеграл

(107.1) достигает наименьшего значения для всех начальных условий xito) (00) из области (109.9), где число т) выбрано в соответствии с неравенством (109.12).

Доказательство теоремы. При Uj = u°jt,x...... xJ

функция удовлетворяет всем условиям теоремы II. Ее производило

ная в силу уравнений (109.1) (при Uj = u° определяется равенством

--«(. 1..........«?) (100-13)



и, следовательно, является функцией определенно-отрицательной. Поэтому воздействия и. (Л .....обеспечивают асимптотическую устойчивость невозмущенного движения x = 0 и выполнение предельного соотношения (109.11) для всех начальных условий xii) из области (109.9), (109.12).

Теперь для доказательства теоремы достаточно проверить справедливость соотношения (109.8). Сделаем это. Движения дг [1 при условии (109.9), (109.12) удовлетворяют неравенству I [1К; Л < Я. Следовательно, вдоль таких движений при всех ft выполняется равенство (109.6) или, иначе говоря, равенство (109.13). Кроме того, вследствие асимптотической устойчивости выполняется предельное соотношение

\\mV{t, x\[t\.....x»[l)=r0 при t-oo. (109.14)

Интегрируя равенство (109.13) вдоль движения x° [1 в пределах от ( = до ( = оо и учитывая (109.14), получим:

V4to Xi(Q.....Xnito)) =

= f m(t, x°[t].....xlm; «0(1, a°[(])d(. (109.15)

С другой стороны, пусть и*((, Xj.....х„), a*(t, х.....х„) -

какие-либо функции, также решающие задачу о стабилизации движения х = 0 для начальных возмущений из области (109.9). Примем сначала, что соответствующие движения х* [1 не выходят при tt из области хй. Тогда в процессе движения х* Н все время будет выполняться (109.7), или, иначе говоря, будет выполняться неравенство

-af>-({t. х\Щ.....xl\t\). (109.16)

Здесь -тг производная функции вдоль движения х* [Л. Инте-

CLt S

грируя неравенство (109.16) от = о до = оо и снова учитывая предельное соотношение

\\mV{t, х\Щ.....х;Н) = 0 при t-oo, (109.17)

получим:

vto, xi(o).....лдх

< f(a(t, х\Щ.....xUl; а\Щ.....u)[t\)dt. (109.18)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [159] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0127