Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Тем не менее, Ляпуновым и его последователями разработаны некоторые общие приемы и идеи построения функций Ляпунова, которые с успехом применяются к конкретным задачам. Это позволило систематически рассмотреть некоторые основные задачи теории устойчивости при помощи второго метода. К такому систематическому рассмотрению указанных задач мы сейчас и приступаем. При этом мы начинаем с основной задачи об установлении необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению. Этой задаче посвящена следующая глава. Как уже указывалось раньше, мы ограничиваемся сначала установившимися движениями.



ГЛАВА III.

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ по ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.

§ 19. Уравнения первого приближения.

В этой главе мы занимаемся установлением необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению для того случая, когда дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

(s=\, 2.....я).

(19.1)

Здесь pj-постоянные, - не зависящие от t функции переменных л:,.....х„, разлагающиеся в области

л:<Я (19.2)

в ряды по степеням этих переменных, причем разложения начинаются членами не ниже второго порядка.

Рассмотрим уравнения первого приближения

-/.11+ ••• (5=1.2.....я). (19.3)

Теория интегрирования такого рода уравнений хорошо известна. Напомним основные положения этой теории). Рассмотрим уравнение я-й степени

0(к) =

Рц - Р\1 • • Рт

Р2\ Р22-- Pin

(19.4)

) См., например, Степанов В. В., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1950.



(19.8)

) Минором (п - к)-го порядка мы называем определитель, получающийся из основного вычеркиванием к строк и колонок.

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а определитель D (X) - характеристическим определителем. Пусть kj - какой-нибудь корень этого уравнения. Этому корню отвечает частное решение системы (19.3) вида

x,==A,ei (5=1, 2.....я), (19.5)

где - постоянные, определяемые однородными алгебраическими уравнениями

••• +(Pss-h)As+ ... +Psn\0, (19.6)

имеющими В силу D (ki) = О нетривиальное решение.

Если уравнение (19.4) имеет только простые корни, то, полагая

в (19.5) 1-1, 2.....я, мы получим п частных решений системы

(19.3). Эти решения будут притом независимы.

Допустим теперь, что ki является кратным корнем и что кратность этого корня равна I. Этому корню по-прежнему соответствует решение (19.5), где по-прежнему удовлетворяют уравнениям (19.6). Но в рассматриваемом случае корню к будут отвечать еще и другие частные решения системы (19.3), отличные от (19.5). Эти решения имеют вид

Xsfse-i (5=1, 2, я), (19.7)

где /() - некоторые полиномы относительно t. Степень этих полиномов никогда не превосходит I-1, но может быть меньше этой величины. Здесь приходится различать два случая в зависимости от того, будет ли ранг определителя D (X,;) равен я - 1 или меньше этой величины.

Допустим сначала, что ранг определителя D (ki) равен я - I, т. е. что хотя бы один из миноров (я- 1)-го порядка) этого определителя отличен от нуля. В этом случае система (19.3) имеет хотя бы одно решение вида (19.7), в котором хотя бы один из полиномов Д (О имеет степень I- 1. Заменяя в этом решении полиномы f(t) их производными какого-нибудь порядка, мы снова получим решения системы (19.3). Таким путем получается / решений системы (19.3), имеющих вид



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017