Аналогичное неравенство получается и в том случае, когда движение X* [(] на время покидает область

\Xs\<h (s=l.....и). (109.19)

Действительно, в последнем случае имеет место следующая ситуация. Пусть т > 0 ~ момент времени, когда движение [t] в последний раз вошло в область (109.19) и уже при не покидает эту область. Тогда с этого момента вдоль движения х" [t] все время выполняется условие (109.16). Интегрируя это неравенство от = т до = оо и учитывая опять предельное соотношение (109.17), получим: V°{x, x\lx]..... х;[т1)<

< J a(t, x*lt].....xl[t], ullt].....u1[i])d(. (109.20)

Ho no выбору xito) из области (109.9), (109.12) справедливо неравенство

V°(t°. X, (g, .. ., x„ (tg)) < V°(x, x; [x].....xl (Tl), (109.21)

a вследствие неотрицательности функции ю имеем:

/ x\lt].....xllty, <m.....a;[t])dt<

< J m(t. xlm.....x; [ty, u1[t].....u;[t\)dt. (109.22)

Из (109.20)-(109.22) снова следует справедливость неравенства (109.18). Соотношения (109.15) и (109.18) доказывают (109.8). Тем самым теорема IV полностью доказана.

Примечание. В условиях теоремы IV предполагается, что величины Uj в уравнениях (109.1) являются функциями от и х(0-Однако анализ доказательства этой теоремы показывает, что соотношение (109.8) справедливо и в том случае, когда в (109.8) Uj=Uj[t\ представляют собой любые функции времени Uj = Uj{t), обеспечивающие предельное соотношение lim х [1 = 0 при ->оо. Действительно, в этом доказательстве по существу нигде не использовалось

предположение, что функция и* [1 имеет форму и* [1 = и* (t, х* [1.....

X* Щ, а не просто является явной функцией только от врейени t. Следовательно, теорема IV устанавливает оптимальность управления и° = и°. (t, Xj, .. ., х) как по отношению к управляющим воздействиям вида Uj=Uj(t, Xl.....х„), так и по отношению к управляющим воздействиям Uj=Uj{t) для всех начальных возмущений из области (109.9), (109.12),

§ ПО. Замечания ко второму методу Ляпунова в теории стабилизации.

Итак, для решения задачи II об оптимальной стабилизации следует попытаться найти функции К° и и°, удовлетворяющие условиям теоремы IV. При этом необходимо обеспечить выполнение равенства (109.6), которое является уравнением в частных производных относительно искомой функции V°. Уравнение (109.6) надо разрешить с учетом дополнительного условия (109.7). В результате получается достаточно трудная задача. Однако, как и в случае общей задачи об устойчивости движения, где также проблема эффективного построения функций Ляпунова весьма нелегка, можно указать некоторые типы уравнений (109.1), для которых функция V° строится в замкнутой форме. Отыскание этих типов уравнений и построение соответствующих функций К" облегчаются известными результатами теории устойчивости движения. В частности, для линейных систем, как и в обычных задачах устойчивости, полезным аппаратом исследования являются функции V° в виде квадратичных форм.

Функции V°{(, Xl.....х„), удовлетворяющие условиям теоремы IV, будем называть оптимальными функциями Ляпунова, отвечающими соответствующей задаче II об оптимальной стабилизации.

Теорема IV может обобщаться в различных направлениях. Если речь идет о проблеме оптимальной стабилизации в целом (см. стр. 480), то в формулировке теоремы IV достаточно потребовать выполнения соотношений (109.6), (109.7) при всех х (-оо < <-j-oo,

s=l.....«) и добавить условия, обеспечивающие устойчивость

движения х - 0 в целом. Эти условия указаны в примечании к стр. 38. Поэтому мы не будем приводить здесь соответствующую полную формулировку теоремы IV в этом случае. Теорема IV также сохраняет свою силу и в тех случаях, когда управляющие воздействия стеснены дополнительными неравенствами (например, иу1). В таких случаях следует лишь потребовать, чтобы функция V° удовлетворяла неравенству (109.7) при всех значениях Uj, стесненных заданными ограничениями. Можно, наконец, ослабить условия определенной положительности функции m(t, х.....х; и, и),

заменив его условием знакоположительности при дополнительных ограничениях в духе критерия асимптотической устойчивости, данного в приложении III. Изменения, которые при этом следует внести в формулировку теоремы IV, очевидны, и мы на них здесь не останавливаемся.

В теореме IV естественно предполагается, что функция К°(, Xl.....х„) имеет в области (109.2) непрерывные частные произ-

водные -3 (s=l.....«). Для задач оптимального упра-

вления, однако, интересны случаи, когда это предположение не выполняется при отдельных значениях t и х, заполняющих, может быть, некоторые поверхности. Критерий оптимальности, подобный теореме IV, но работающий с применением таких не гладких функций V{t, Хг.....Хп), разработан В. Г. Болтянским).

В заключение этого параграфа сделаем еще несколько кратких замечаний о связи теоремы IV с общими методами вариационного исчисления и, в частности, с известными методами математической теории оптимальных процессов.

Критерий оптимальности воздействий и°., который выражается равенством (109.6) и неравенством (109.7), соответствует известному методу в вариационном исчислении, опирающемуся на теорию распространения возмущений 2). Здесь, однако, в отличие от наиболее распространенной формы необходимых условий экстремальности, критерий приведен в форме достаточных условий минимума интеграла (107.1). При этом условия теоремы IV одновременно обеспечивают выполнение предельного соотношения lim (0 = 0 при->оо. Такая формулировка соответствует характеру основных теорем второго метода Ляпунова исследования устойчивости движения. Поэтому она и выбрана нами здесь. Естественным результатом отмеченной связи теоремы IV с методами классического вариационного исчисления является тот факт, что соотношение (109.6) имеет форму уравнения в частных производных вида известного уравнения Гамильтона-Якоби.

Фундаментальным методом исследования задач об оптимальном управлении является метод, основанный на принципе максимума Л. С. Понтрягина ). В теории оптимальных процессов, развитой Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гам-крелидзе и Е. Ф. Мищенко, оптимальное управление Uj ищется в виде функции только от времени = и°. {t) (отдельно для каждых фиксированных начальных условий xit).

Для задачи, аналогичной задаче II, но состоящей в определении управления в форме = и° {f), принцип максимума утверждает, что на оптимальном движении x[t\ системы (109.1), порожденном управлением и. {t), обязательно выполняется условие

H[%it).....Ф„+1(0; t, x\[t].....xiity, «о.....«o]>

>H[\it).....„+,(0; t; x\[t].....х1Щ; «j.....al (ilO.l)

) Болтянский В. Г., Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования. Изв. АН СССР, серия математическая, т. XXVIII, № ,з, 1964.

2) См., например, монографию: Гельфанд И. М., Фомин СВ., Вариационное исчисление, М., Физматгиз, 1961.

) См. монографию Л. С. Понтрягиаа и др., упомянутую в сноске на стр. 475.