Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [161] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

ОЛ i

dt Li. dXi

(110.3)

где X(, = (i) и Л„.,.1=1. При этом на оптимальном движении x°[t] величина Я остается постоянной, т. е.

H[%{t).....„+i(0; С. xl[t].....x»m;«0(0.....и?(0]=0

при ttf,. (110.4)

Связь принципа максимума с теоремой IV определяется следующим обстоятельством: можно проверить, что при выполнении условий теоремы IV на движении х° [t], порожденном оптимальным управлением и°. [1 = t, х1 [t].....x° (1), справедливы равенства

dV(t, x°ilt].....xllt])

ФЛО =-- " (5=1.....«).

dVjt.xIm.., xllt]) Wa+1 ---5-•

Но в таком случае понятно, что равенство (110.4) и условие (110.1) имеют тот же смысл, что и равенство (109.6) и неравенство (109.7), соответственно. Подчеркнем, однако, еще раз, что принцип максимума указывает необходимые условия оптимальности управления u - u\(t), в то время как теорема IV дает достаточные условия для оптимального управления Uj в форме и - u]it. X,.....х„). •

Заметим, наконец, что в случае установившихся движений л: = 0, т. е. в случаях, когда функции vi т не зависят явно от времени, оптимальную функцию Ляпунова К" и оптимальное управление также следует искать в виде функций, не зависящих явно от времени, т. е. V = V\x,.....х„). «5 = «°(Xi.....х„) (/-=1.....г).

каковы бы ни были числа .....и. Здесь величина Я определена

равенством

Я№о.....n+i; t; .... x„; «1.....«r] =

= 1- •••• «1..... +

1.....«1.....«r)o. (И0.2)

a величины \)() являются некоторым частным решением системы



) Альбрехт Э. Г., Об оптимальной стабилизации нелинейных систем, ПММ, т. XXV, вып. 5, 1961; К теории аналитического конструирования регуляторов, Труды Межвузовской конференции по прикладной теории устой.чиво-сти движения и аналитической механике. Изд. КАИ, Казань, 1962; Зубов В. И., К теории аналитического построения регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. XXIV, № 8, 1963; Гальперин Е. А., Красовский Н. Н., О стабилизации установившихся движений нелинейных управляемых систем, ПММ, т. XXVII, вып. 6, 1963; Красовский Н. Н., Осипов Ю. С, О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием в системе регулирования. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика № 6, 1963.

§ 111. Решение задачи о стабилизации для уравнений первого приближения.

Для задач I и II о стабилизации, как и для общей проблемы устойчивости, может быть развита теория исследования этих задач по первому приближению. Здесь можно указать случаи, когда решение проблемы определяется линейным приближением, а также критические случаи, когда возможность разрешения проблемы и сами искомые воздействия Uj{t, Xj, . . ., х„) определяются членами высшего порядка малости в уравнениях (109.1) возмущенного движения.

В настоящем приложении мы ограничимся лишь одним результатом, относящимся к этой теории. Именно, мы рассмотрим случай, когда задача I для нелинейной системы решается исходя из ее линейного Приближения. Имеются работы), в которых можно найти более подробное изложение теории стабилизации по первому приближению.

Примем, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

+ Xl. х„; «1.....и,) (111.1)

(8=1.....И).

Здесь Psj, qj - ограниченные и непрерывные функции времени, в частности pj, qj - постоянные; - функции, разлагающиеся в области

>0, xj <Я (s=l.....и) (111.2)

в ряды по степеням переменных х и с ограниченными коэффициентами, причем разложения начинаются членами не ниже второго порядка.

Мы переходим теперь к исследованию задач о стабилизации для уравнений первого приближения

= PslXi+ ... +PsnXn + qsll+ +qsr<r (111.3)

(s=l.....«)•



Исследование начнем с задачи II об оптимальной стабилизации, причем в качестве критерия качества (107.1) выберем интеграл

оо f л т л

/=/ i 2] S hiif)aiit)4jit)\dt. (111.4)

где квадратичные формы 2 ijXiXj и 2 предполагаются

г, / = 1 i, j = l

определенно-положительными.

Оптимальную функцию Ляпунова V°(t, .....х„), которая

удовлетворяла бы условиям теоремы IV, следует здесь искать в виде квадратичной формы

V4t. Хх.....X„)= C,j{t)XiXj.

Составим выражение B[V°; t; х.....х„; Ир .

5[I/O; t; Xi.....х„; Uj. .... и,] =

п / п г

+2j лг 2Л+2Л

(111.5) а,] (109.3):

dXi -

+ ijXiX} 21 М<"У (111-6)

При a.= tf>.{t, Xj.....x величина В должна иметь минимум

и обращаться при этом в нуль. Поэтому, приравнивая правую часть (111.6) к нулю, получим первое уравнение для и и". Дифференцируя правую часть (111.6) по Uj (У=1.....г) и приравнивая результаты к нулю, получим еще г уравнений для определения и и°. Эти уравнения имеют вид

1=1 <=1

(7=1.....п).

Уравнения (111.7) можно разрешить относительно и°.. так как

вследствие определенной положительности формы ijtiUj



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [161] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0074