Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 [162] 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Рп Pl2 • • • Plr P21 Р22 • • P2r

Prl Рг2 • • • Pr

(111.8)

отличен от нуля.

Определим из уравнений (111.7) величины

А*/ 4 дУо

Я Ik

(111.9)

k=i (=1

с/-=1.....о-

Здесь Ду - алгебраическое дополнение элемента А-й строки и У-й колонки в (111.8). Внося значения и) (111.9) в равенство В; t; Xl.....х; «J.....«J] = 0, получаем уравнение для определения функции V":

It / It \

дУо , дУ»

/=1 \j=i I

ft, .5=1 V; = l / Vy = l / i, 7 = 1

Подставляя в (111.10) выражения

dt ~ 2U

dcij

= 2СиХ)

и приравнивая к нулю коэффициенты при произведениях хх получим уравнения для определения величин Cij{t):

+ Ё (Pft/Cj/H- PkjCki) -

ft=i

г /л \ / л

ft, .5 = 1 Vi=I

(i. У= 1.....«; Cj = cj; uijaji)

cigms]-hct,j = 0 (111.11)

детерминант



/л \

\/=1 /

k=l k,s=l

(111.13)

(i, 7=1, .... и; Cij~Cji, aij = aji).

Итак, решение задачи II сводится в данном случае к разрешению ураБнений (Г11.11). При этом возникает проблема о существовании ограниченного частного решения cjit), обеспечивающего определенную положительность формы 1/" (111.5).

§ 112. Достаточные условия разрешимости задачи о стабилизации для линейных систем.

Мы переходим теперь к изложению достаточных условий, при которых может быть решена задача II об оптимальной стабилизации для линейной управляемой системы

= PslXl+ PsnXn+qsl4l+ • +qsr"r (112.1)

(s=l.....n)

при условии минимума интеграла

/ = / Jjit)Xi(t)Xj{t)ij(t)Ui(t)Uj(t)\dt, (112.2)

i> [i.J = l i.i = l I

где формы pij(f) Xi(t) Xj(f) и 2 i;Ui(t)aj(t), как и выше,

предполагаются определенно-положительными. ) См. работы в сноске на стр. 476.

Если удастся найти ограниченное частное решение cf) уравнения (111.11) такое, что форма (111.5) окажется определенно-положительной, то согласно теореме IV задача будет решена. При этом оптимальные управляющие воздействия имеют вид (111.9) и являются, следовательно, линейными функциями от координат х.

В частности, в случае установившегося движения х = 0, когда Psi Я si - постоянные величины и коэффициенты ау, - тоже постоянные числа, форму следует искать в виде

10= i CijXiXj (111.12)

где Cjy== const. Тогда дифференциальные уравнения (111.11) превращаются Б алгебраические уравнения)



Согласно § 111 для существования решения этой задачи достаточно, чтобы уравнения (111.11) имели ограниченные решения Cij{t) такие, что форма

Vt. Хр .... Х„) = Ctj(t)XiXj

(112.3)

является определенно-положительной.

Как и в общей задаче об устойчивости, будем различать случаи установившегося движения = О, когда величины pij, q-j, и будем полагать постоянными, и общие случаи неустановившегося движения л; = 0, когда Pijit), qijit), o,ij(t), Pij(t) - переменные функции времени t.

Обсудим сначала случай установившегося невозмущенного движения х = 0. Оптимальная функция Ляпунова 1" (112.3) ищется в этом случае в виде квадратичной формы

УЧхг.....х„) = CijXiXj

(112.4)

с постоянными коэффициентами су. Дифференциальные уравнб-ния (111.11) для Cij обращаются в систему алгебраических уравнений (111.13). Управляющие воздействия и)(Хр .... л;) имеют при этом вид

«"Дг „) = v,yXi+ ••• +v„,„. (112.5)

где vy - постоянные.

В обсуждаемом случае важную роль играет матрица W, построенная следующим образом:

W=[Q, PQ.....P"-Q

(112.6)

Здесь Q - матрица {qj} (s=l.....n; J=l.....r), P--матрица [Psj\ (s=l, .... n; j=\.....ti). В частности, если система

(112.1) управляется лишь одним воздействием ащ, то матрица Q превращается в вектор-столбец

Яп1-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 [162] 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0015