Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [163] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

матрицы PQ также обращаются в векторы-столбцы.

PQ =

и матрица W оказывается п X «-матрицей

Pl2 •

Pin

к

Щк + 1

Р22

• Р2п

Щк+1

Pnl

Рп2

Рпп-

-Чп\-

-пк+1-

W,

nl п2

В общем случае матрица W имеет и строк и и X столбцов.

Оказывается, что возможность решения задачи II об оптимальной стабилизации системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) определяется свойствами матрицы W. В частности, достаточные условия разрешимости задачи даются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть ранг матрицы W равен п. Тогда справедливы следующие заключения:

1. Задача И для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) имеет решение, причем существуют квадратичная форма V°(Xi, .... Хп) (112.4) и управляющие воздействия u°j(Xy ...,х) вида (112.5), удовлетворяющие всем условиям теоремы IV.

2. Управляющие воздействия ulx.....л:) (112.5), определяемые оптимальной функцией Ляпунова У{Х1.....х)

(112.4) 8 соответствии с равенствами (111.19), являются единственным решением задачи.

Мы не будем приводить здесь доказательство первого утверждения теоремы 1. Это доказательство можно найти в работах Р. Е. Калмана, Я. Курцвейля и Ф. М. Кирилловой >). Проверим здесь лишь справедливость второго утверждения.

w„

2n

W„

I) К a Л M a h P. E., 06 общей теории систем управления. Труды I конгресса ИФАК, т. 1, Изд. АН СССР, 1961; Contribmions to the theory of optimal control Sumposium Internacional de Ecnacipnes Difterenciales Ordina-rias, Publ. por La Univ. Nac. Automa de Mexico у La Socided. Matem. Mexicana, 1961; Курцвелль Я., К аналитическому конструированию регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. XXII, №6, 1961; 1< и р и л-л о в а Ф. М., К задаче об аналитическом конструировании регуляторов ПММ, т. XXV, вып. 3, 1961.



) См. монографию Л. С. Понтрягина и др. в сноске на стр, 475. 2) См., например, работы в сноске на стр. 492.

Итак, пусть в соответствии с пунктом 1 теоремы функция 1* вида (112.4) является оптимальной функцией Ляпуновт ,ч в совокупности с функциями K°(Xj. .... xJ вида (112.5) удовлетворяет всем условиям теоремы IV. Но при известной функции ViXi.....х„) управляющие воздействия .....л;) определяются единственным образом из условий (111.7) минимума выражения В [V"; Xl.....Хц, Up ..,, по Uj. Если выбрать какие-либо

непрерывные управляющие воздействия m*(Xj.....xфaj[Xp .... х

в некоторой, пусть даже очень малой области 5 изменения величин х,

то в этой области выражение ВК"; .....х; и*.....и*] будет

положительным. Но тогда согласно рассуждениям на стр. 488 Лтеграл

/ S •О-* + S

и \i,i=i i.f=i j

будет больше, чем величина 1/(a;j[o].....«[М) "

жений x*[t], проходящих через область 5 при t%tQ. Это означает,

что управление «*(Xi.....л;) не является оптимальным. Тем самым

доказана единственность оптимального управления и)(х.....,x).

найденного по функции V°(Xi.....х„) из уравнений (111.19).

Матрицы вида были рассмотрены в связи с задачами об оптимальном регулировании Р. В. Гамкрелидзе). В частности, условие независимости векторов Q, PQ, . . ., P"Q в случае, когда линейная система (112.1) управляется одним воздействием u = Up было названо им «условием общего положения». Это условие играет важную роль в теории линейных управляемых систем. Позднее свойства матрицы 1Г в связи с проблемами управления были изучены во многих работах

Перейдем теперь к обсуждению случаев неустановившегося невозмущенного движения л; = 0. В этих случаях разрешимость задачи II об оптимальной стабилизации связана со свойствами матрицы W {t), которая имеет следующий вид:

W(t)={Li(t).....L„(01. (112.7)

Здесь (0 - матрицы, определенные рекуррентными соотношениями

= .....tu+iit)=-P{t)L,{t), (112.8)



причем, естественно, предполагается, что элементы Pski) и матриц P{t) и Q{t) имеют все производные, необходимые для построения матрицы W {t).

Достаточные условия разрешимости задачи И для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) даются следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть функции Pgit) а qsj(i) имеют при >-0 равномерно непрерывные и ограниченные производные до (п-1)-го порядка включительно, и пусть существует число т > О, удовлетворяющее следующему условию:

На любом отрезке tt-i найдется точка * (О такая, что в матрице Wф*) можно выделить п линейно независимых векторов-столбцов

wik) (*) = Wsi (Щ (А = 1.....п; 5=1.....п)

причем квадратичная форма

п I п \

Ф(. h.....U= S [siA*(t))WsiA*{t) hh (112.9)

определенно-положительна.

Тогда справедливы следующие заключения:

1. Задача II для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) имеет решение, причем существуют квадратичная форма V{t, л:,, л:„) (112.3) и управляющие воздействия

«К- 1.....••• +V-(Ox„. (112.10)

удовлетворяющие всем условиям теоремы IV.

2. Управляющие воздействия uj{t, Ху .. ., х (112.10), определяемые оптимальной функцией Ляпунова V{t, х, х„) (112.3) 8 соответствии с равенствами (111.19), являются единственным решением задачи.

Справедливость теоремы 2 мы также примем без доказательства. Это доказательство можно найти в работе Н. Н. Красовского).

§ 113. Практические способы решения задач об оптимальной стабилизации для линейных систем.

Теоремы, сформулированные в предыдущем параграфе, указывают достаточные условия, при выполнении которых разрешима задача II об оптимальной стабилизации системы (112.1) при условии минимума

) К р а с о в с к и й Н. Н., О стабилизации неустойчивых движений дополнительными Силами при неполной обратной связи. ПММ, т. XXVIf. вып. 4, 19ба



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [163] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0084