матрицы PQ также обращаются в векторы-столбцы.

PQ =

и матрица W оказывается п X «-матрицей

W,

nl п2

В общем случае матрица W имеет и строк и и X столбцов.

Оказывается, что возможность решения задачи II об оптимальной стабилизации системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) определяется свойствами матрицы W. В частности, достаточные условия разрешимости задачи даются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть ранг матрицы W равен п. Тогда справедливы следующие заключения:

1. Задача И для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) имеет решение, причем существуют квадратичная форма V°(Xi, .... Хп) (112.4) и управляющие воздействия u°j(Xy ...,х) вида (112.5), удовлетворяющие всем условиям теоремы IV.

2. Управляющие воздействия ulx.....л:) (112.5), определяемые оптимальной функцией Ляпунова У{Х1.....х)

(112.4) 8 соответствии с равенствами (111.19), являются единственным решением задачи.

Мы не будем приводить здесь доказательство первого утверждения теоремы 1. Это доказательство можно найти в работах Р. Е. Калмана, Я. Курцвейля и Ф. М. Кирилловой >). Проверим здесь лишь справедливость второго утверждения.

w„

2n

W„

I) К a Л M a h P. E., 06 общей теории систем управления. Труды I конгресса ИФАК, т. 1, Изд. АН СССР, 1961; Contribmions to the theory of optimal control Sumposium Internacional de Ecnacipnes Difterenciales Ordina-rias, Publ. por La Univ. Nac. Automa de Mexico у La Socided. Matem. Mexicana, 1961; Курцвелль Я., К аналитическому конструированию регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. XXII, №6, 1961; 1< и р и л-л о в а Ф. М., К задаче об аналитическом конструировании регуляторов ПММ, т. XXV, вып. 3, 1961.

) См. монографию Л. С. Понтрягина и др. в сноске на стр, 475. 2) См., например, работы в сноске на стр. 492.

Итак, пусть в соответствии с пунктом 1 теоремы функция 1* вида (112.4) является оптимальной функцией Ляпуновт ,ч в совокупности с функциями K°(Xj. .... xJ вида (112.5) удовлетворяет всем условиям теоремы IV. Но при известной функции ViXi.....х„) управляющие воздействия .....л;) определяются единственным образом из условий (111.7) минимума выражения В [V"; Xl.....Хц, Up ..,, по Uj. Если выбрать какие-либо

непрерывные управляющие воздействия m*(Xj.....xфaj[Xp .... х

в некоторой, пусть даже очень малой области 5 изменения величин х,

то в этой области выражение ВК"; .....х; и*.....и*] будет

положительным. Но тогда согласно рассуждениям на стр. 488 Лтеграл

/ S •О-* + S

и \i,i=i i.f=i j

будет больше, чем величина 1/(a;j[o].....«[М) "

жений x*[t], проходящих через область 5 при t%tQ. Это означает,

что управление «*(Xi.....л;) не является оптимальным. Тем самым

доказана единственность оптимального управления и)(х.....,x).

найденного по функции V°(Xi.....х„) из уравнений (111.19).

Матрицы вида были рассмотрены в связи с задачами об оптимальном регулировании Р. В. Гамкрелидзе). В частности, условие независимости векторов Q, PQ, . . ., P"Q в случае, когда линейная система (112.1) управляется одним воздействием u = Up было названо им «условием общего положения». Это условие играет важную роль в теории линейных управляемых систем. Позднее свойства матрицы 1Г в связи с проблемами управления были изучены во многих работах

Перейдем теперь к обсуждению случаев неустановившегося невозмущенного движения л; = 0. В этих случаях разрешимость задачи II об оптимальной стабилизации связана со свойствами матрицы W {t), которая имеет следующий вид:

W(t)={Li(t).....L„(01. (112.7)

Здесь (0 - матрицы, определенные рекуррентными соотношениями

= .....tu+iit)=-P{t)L,{t), (112.8)

причем, естественно, предполагается, что элементы Pski) и матриц P{t) и Q{t) имеют все производные, необходимые для построения матрицы W {t).

Достаточные условия разрешимости задачи И для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) даются следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть функции Pgit) а qsj(i) имеют при >-0 равномерно непрерывные и ограниченные производные до (п-1)-го порядка включительно, и пусть существует число т > О, удовлетворяющее следующему условию:

На любом отрезке tt-i найдется точка * (О такая, что в матрице Wф*) можно выделить п линейно независимых векторов-столбцов

wik) (*) = Wsi (Щ (А = 1.....п; 5=1.....п)

причем квадратичная форма

п I п \

Ф(. h.....U= S [siA*(t))WsiA*{t) hh (112.9)

определенно-положительна.

Тогда справедливы следующие заключения:

1. Задача II для системы (112.1) при условии минимума величины (112.2) имеет решение, причем существуют квадратичная форма V{t, л:,, л:„) (112.3) и управляющие воздействия

«К- 1.....••• +V-(Ox„. (112.10)

удовлетворяющие всем условиям теоремы IV.

2. Управляющие воздействия uj{t, Ху .. ., х (112.10), определяемые оптимальной функцией Ляпунова V{t, х, х„) (112.3) 8 соответствии с равенствами (111.19), являются единственным решением задачи.

Справедливость теоремы 2 мы также примем без доказательства. Это доказательство можно найти в работе Н. Н. Красовского).

§ 113. Практические способы решения задач об оптимальной стабилизации для линейных систем.

Теоремы, сформулированные в предыдущем параграфе, указывают достаточные условия, при выполнении которых разрешима задача II об оптимальной стабилизации системы (112.1) при условии минимума

) К р а с о в с к и й Н. Н., О стабилизации неустойчивых движений дополнительными Силами при неполной обратной связи. ПММ, т. XXVIf. вып. 4, 19ба