/и \

rnims

+ а;у, (113.3)

*, 5 = 1 г = 1 Vm = I /

отвечающее начальным условиям

с;.(0) = 0 (/, У=1. ... п). (113.4)

(Уравнения (113.3) получаются из уравнений вида (111.11), в которых t заменяется на ~ t.)

Упомянутое свойство подсказывает метод вычисления величин с,у. Для этой цели следует найти решение c*j(t) уравнений (113.3) - (113.4) при достаточно больших значениях / = т. Вследствие соотношений (113.2) можно принять

/; = <yW У=1.....«)

Таким образом коэффициенты оптимальной функции Ляпунова могут быть вычислены сколь угодно точно, если т достаточно ве-

показателя качества (112.2) процесса д:() (s=l.....и). Следовательно, при этих условиях уравнения (111.13) (или уравнений (111.11)), определяющие оптимальную функцию Ляпунова V", имеют решения (или Cjj{t)), обладающие всеми нужными свойствами.

Решение уравнений (111.11) может представить серьезные трудности, а решение уравнений (111.13) обычно не вызывает принципиальных затруднений, однако и в этом случае практический счет может оказаться весьма громоздким.

Предполагая в дальнейшем, что величины р/р qj,, и ру, фигурирующие в (112.1) и (112.2), не зависят от времени, изложим два возможных способа решения задачи об оптимальной стабилизации.

Первый способ основан на таком свойстве искомых решений су уравнений, (111.13): если задача II в форме (112.1) - (112.2) имеет решение, то величины с,у, удовлетворяющие уравнениям (111.13) и Определяющие оптимальную функцию Ляпунова

"(Ji.....Хп)= 2 CijXiXj. (113.1)

л ; = I

суть числа /

c. = limc;. () при t->-{-oo (113.2)

(А У=1.....«),

где c\j{f)-частное решение системы дифференциальных уравнений

dc* "

1 О 1

Vo О О/

\ 1 /

и поэтому

/О О 1ч

О 1 О

V 1 О оУ

Ранг матрицы W равен порядку системы (113.5). Следовательно, рассматриваемая задача имеет решение. Уравнения (111.13) для определения

•) Репин Ю. М., Третьяков В. е.. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих устройствах. Автоматика и телемеханика, т. 24, вып. 6, 1963.

лико. Для практических вычислений, легко поддающихся стандартизации, удобно пользоваться вычислительными устройствами и, в частности, аналоговыми машинами.

Доказательство предельных соотношений (113.2) и подробное описание рассмотренного способа вычисления величин с, с использованием электронных моделей можно найти в работе Ю. М. Репина и В. Е. Третьякова 1).

После вычисления величин с,-у управляющие воздействия определяются без труда по формулам (111.9).

Пример 1. В качестве иллюстрации изложенного способа рассмотрим решение задачи о стабилизации математического маятника в верхнем, неустойчивом положении равновесия моментом, приложенным к нему на оси подвеса. Этот момент вырабатывается исполнительным механизмом, который является интегрирующим звеном. Исполнительный механизм в свою очередь подвержен некоторому управляющему воздействию и.

Выбирая соответствующим образом масштабы времени, координат и усилий. Запишем уравнения возмущенного движения в нормальной форме:

dx, dx2 , , dXs

где = ф - угол отклонения маятника от вертикали, х = ф, х - момент, приложенный к маятнику.

Составим уравнения первого приближения:

dXi dx2 j „

Для этой системы рассмотрим задачу II об оптимальной стабилизации, выбрав следующий критерий качества:

и- S и () + 2 (О + 4 {t) -f (О) dt. (113.6)

Проверим достаточное условие разрешимости задачи (см. теорему 1 § 112). С этой целью вычислим матрицу W= [Q, PQ, PQ}. В нашем случае

, О 1 0\ /0\

502 ДОПОЛНЕНИЕ IV

коэффициентов формы (113.1) принимают следующий вид: 2f ,2 - 4+1=0, Сц + - Ci3f 23 = 0. 2«12-4+1=0. 23+«12-Сзз13 = 0, 2С23 -4+1=0. CI3+C22 -СззС2з = 0.

(113.7)

Пусть С/у -искомое решение системы уравнений (113.7), для которого квадратичная форма (113.1) является определенно-положительной. Согласно (113.2)

= lira clj (t) (i, у = 1, 2, 3) при -> + оо,

где су (t) - решение системы дифференциальных уравнений

dc\i (О

deli (О dt

dclsjt) dt

4(0 dt

dcljt) dt

= 24(0-4(0+1,

24(о-Сй(о+1,

»2

= 2с2з(0-Сзз(0+1.

4()+4 (0-4(0-4 (0-

4(0+4 (0-= 4(0+4(0-

сзз(0-с:з(0.

-4(0-4(0,

(113.8)

соответствующее начальным условиям

4(0)-О (i, у =1,2,3).

На рис. 24 приведены графики переходных кривых для уравнений (113.8), вычисленные на цифровой вычислительной машине. Значения (/, у= 1, 2, 3) получаются такими:

£,, = 11,1333, с,2= 10,1333, «22= 10,1333, С,з = 4,6116. Сзз= 3,1974, С2з= 4,6116. Искомое оптимальное управление и" находится по формуле (111.9): дУ , , , ,

М" = - Y = - (с 13-1 + С2зЛ:2+ СззЛГз) =

= - (4,6116x, + 4,6116Л-2 + 3,1974x3).

Из примера, в частности, видно, что для определения оптимального управляющего воздействия знание всех коэффициентов оптимальной функции Ляпунова не обязательно.