Мы переходим теперь к изложению второго способа!) решения задачи II в форме (112.1) - (112.2), который позволяет вычислить коэффициенты оптимального управления непосредственно, без предварительного определения функции V.

Предположим, что движение объекта описывается системой линейных дифференциальных уравнений

p„lXi+ ... p„„X„-i-q„U,

(113.9)

где Pgj и (s, 7=1, n) - некоторые постоянные величины, a й - скалярное управляющее воздействие. Пусть критерий качества переходного процесса задан в виде интеграла

2j aijXiXj + u

(113.10)

Здесь aij - постоянные коэффициенты определенно-положительной квадратичной формы.

Допуская, что условия, при которых разрешима задача II в форме (113.9)- (113.10), выполнены (см. теорему 1 § 112), Рис.24, воспользуемся для отыскания оптимального управляющего воздействия процедурой, вытекающей из принципа максимума.

Функция Гамильтона = (фд.....ф„, х, .... х„, и), определенная в § ПО формулой (110.2), для нашей задачи имеет вид

5] ajXiXJ-i-u

i = \

) Подобный способ опубликован в статье: П р я х и н Н. С, К вопросу об аналитическом конструировании регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. 24, вып. 9, 1963. Независимо аналогичный метод был разработан и стандартизирован в вычислительном центре Уральского государственного университета под руководством Ю. М. Репина в 1962 году.

Оптимальное управление в каждый момент времени должно формироваться так, чтобы максимизировалась величина И или, что то же самое, минимизировалась величина В (см. § 109)

"=1

2u dXi dt

i = i

дН дВ

Поэтому, приравнивая производную или нулю, находим

структуру оптимального управления

«о + 922 + • • + 9Ж- (113.11)

Составим, далее, канонически сопряженные уравнения (109.1) и (110.3):

if/ dt

d dt

(i-=l.....ri).

которые в нашем случае после подстановки вместо и функции Ф из формулы (113.11) примут вид

dx„ dt

= «„1-1 +

+ (nnX„ - Pxni - ... - p„„„.

(113.12)

Эту систему уравнений, решающих задачу об оптимальной стабилизации, можно получить также, используя классический вариационный метод Эйлера - Лагранжа. Именно таким путем она была получена впервые А. М. Летовым).

Построим характеристический определитель для системы (113.12):

P - IE Q,

а -Р* - ХЕ,

где обозначено Р=={р], Qilq-qj], P*={py,}. а={а;у} -{i}]- Известно, что построенный определитель обладает свойством D{-X)z=zD{X), т. е. характеристический полином содержит только четные степени X. Тогда уравнение D{X) = Q наряду с каж-

) Летов А. М., Аналитическое конструирование регуляторов, Автоматика и телемеханика, т. 21, вып. 4, I960.

D{X)

= (-l)"rf,(A).

Pni-hln"! Рп2 + Яп2.....Рпп + Япп -

(113.14)

Если многочлен (Я,) нам известен, то, сравнивая в тождестве (113.14) коэффициенты при одинаковых степенях >v, получим систему уравнений для определения коэффициентов оптимального управления. Нетрудно убедиться в том, что эта система алгебраических уравнений всегда будет линейной.

дым корнем, имеющим отрицательную действительную часть, будет обладать соответствующим корнем с положительной действительной частью. Следовательно, характеристический многочлен может быть выражен в виде произведения двух полиномов и-й степени

причем корни полинома rfj (Я,) расположены в левой полуплоскости, а корни многочлена rfj W - правой.

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. Движение, определяемое уравнениями (113.9), в которые вместо и подставлено оптимальное управление u( Xi.....х„), являющееся согласно

результатам § 111 линейной функцией координат х(8=\, п), совпадает с движением, получающимся в силу системы уравнений

= Px-j~Qi,

в которых вектор ф=: {Ф1, .. ., ф„} вычислен на оптимальных траекториях x1(t) (s=l.....п).

Но по условиям задачи оптимальное управляющее воздействие должно быть таким, чтобы тривиальное решение системы

= Px-j~quHxi.....х„), (113.13)

.....

было асимптотически устойчивым, следовательно, характеристический многочлен, составленный для (113.13), обязан иметь все корни с отрицательной действительной частью и этот многочлен должен тождественно совпадать с (-l)"di(K) в силу отмеченного выше обстоятельства.

Полагая u - vXi-j- ... -j~v„x„ и подставляя его в таком виде в уравнения (113.13), приравниваем характеристический полином многочлену (-1)" diCk):

Pll+lVl -. /l2 + 9lV2.....Pln + lVn

Л:+ 921. Р22+(!22-.....Р2п + (!2п