Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [165] 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Мы переходим теперь к изложению второго способа!) решения задачи II в форме (112.1) - (112.2), который позволяет вычислить коэффициенты оптимального управления непосредственно, без предварительного определения функции V.

Предположим, что движение объекта описывается системой линейных дифференциальных уравнений

p„lXi+ ... p„„X„-i-q„U,

(113.9)

где Pgj и (s, 7=1, n) - некоторые постоянные величины, a й - скалярное управляющее воздействие. Пусть критерий качества переходного процесса задан в виде интеграла

2j aijXiXj + u

(113.10)


Здесь aij - постоянные коэффициенты определенно-положительной квадратичной формы.

Допуская, что условия, при которых разрешима задача II в форме (113.9)- (113.10), выполнены (см. теорему 1 § 112), Рис.24, воспользуемся для отыскания оптимального управляющего воздействия процедурой, вытекающей из принципа максимума.

Функция Гамильтона = (фд.....ф„, х, .... х„, и), определенная в § ПО формулой (110.2), для нашей задачи имеет вид

5] ajXiXJ-i-u

i = \

) Подобный способ опубликован в статье: П р я х и н Н. С, К вопросу об аналитическом конструировании регуляторов. Автоматика и телемеханика, т. 24, вып. 9, 1963. Независимо аналогичный метод был разработан и стандартизирован в вычислительном центре Уральского государственного университета под руководством Ю. М. Репина в 1962 году.



Оптимальное управление в каждый момент времени должно формироваться так, чтобы максимизировалась величина И или, что то же самое, минимизировалась величина В (см. § 109)

"=1

2u dXi dt

i = i

дН дВ

Поэтому, приравнивая производную или нулю, находим

структуру оптимального управления

«о + 922 + • • + 9Ж- (113.11)

Составим, далее, канонически сопряженные уравнения (109.1) и (110.3):

if/ dt

d dt

(i-=l.....ri).

которые в нашем случае после подстановки вместо и функции Ф из формулы (113.11) примут вид

dx„ dt

= «„1-1 +

+ (nnX„ - Pxni - ... - p„„„.

(113.12)

Эту систему уравнений, решающих задачу об оптимальной стабилизации, можно получить также, используя классический вариационный метод Эйлера - Лагранжа. Именно таким путем она была получена впервые А. М. Летовым).

Построим характеристический определитель для системы (113.12):

P - IE Q,

а -Р* - ХЕ,

где обозначено Р=={р], Qilq-qj], P*={py,}. а={а;у} -{i}]- Известно, что построенный определитель обладает свойством D{-X)z=zD{X), т. е. характеристический полином содержит только четные степени X. Тогда уравнение D{X) = Q наряду с каж-

) Летов А. М., Аналитическое конструирование регуляторов, Автоматика и телемеханика, т. 21, вып. 4, I960.

D{X)



= (-l)"rf,(A).

Pni-hln"! Рп2 + Яп2.....Рпп + Япп -

(113.14)

Если многочлен (Я,) нам известен, то, сравнивая в тождестве (113.14) коэффициенты при одинаковых степенях >v, получим систему уравнений для определения коэффициентов оптимального управления. Нетрудно убедиться в том, что эта система алгебраических уравнений всегда будет линейной.

дым корнем, имеющим отрицательную действительную часть, будет обладать соответствующим корнем с положительной действительной частью. Следовательно, характеристический многочлен может быть выражен в виде произведения двух полиномов и-й степени

причем корни полинома rfj (Я,) расположены в левой полуплоскости, а корни многочлена rfj W - правой.

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. Движение, определяемое уравнениями (113.9), в которые вместо и подставлено оптимальное управление u( Xi.....х„), являющееся согласно

результатам § 111 линейной функцией координат х(8=\, п), совпадает с движением, получающимся в силу системы уравнений

= Px-j~Qi,

в которых вектор ф=: {Ф1, .. ., ф„} вычислен на оптимальных траекториях x1(t) (s=l.....п).

Но по условиям задачи оптимальное управляющее воздействие должно быть таким, чтобы тривиальное решение системы

= Px-j~quHxi.....х„), (113.13)

.....

было асимптотически устойчивым, следовательно, характеристический многочлен, составленный для (113.13), обязан иметь все корни с отрицательной действительной частью и этот многочлен должен тождественно совпадать с (-l)"di(K) в силу отмеченного выше обстоятельства.

Полагая u - vXi-j- ... -j~v„x„ и подставляя его в таком виде в уравнения (113.13), приравниваем характеристический полином многочлену (-1)" diCk):

Pll+lVl -. /l2 + 9lV2.....Pln + lVn

Л:+ 921. Р22+(!22-.....Р2п + (!2п



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [165] 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0053