dt dt--->T-f"3-r at

Полагаем для простоты выкладок [л, = = = Y =так что

[х? (О + 2 (t) + х\ (t) + иЩ dt. (113.16)

Канонически сопряженная система (113.12) имеет для нашего примера

Раскрывая характеристический определитель этой системы, получим D (Л) = (Л2 - 1) [(Л - af - ХЧ» -f

Многочлен D (А) нетрудно в нашем случае представить в виде произведения полиномов rf, (Л) и ds (Я):

D (л) = (ЛЗ + д,>.2 4- + Дз) (Л - д,Л2 + ДгЛ - Дз).

Здесь X-]-a,X-\-aiX-\-a3 -di{X). Коэффициенты а,, Дг, Дз определяются формулами:

д, = 1 + У2а+*2 2К а + Р,

аз = /НТ-Легко проверить, что уравнение

д,Я2 4-Д2Я,4-аз = 0

имеет все корни с отрицательной действительной частью. Полагая и" = \Xi-\-+ 22-j-Гзз и составляя тождество (113.14), имеем:

- Л 1 О

O-J-Av, bV2 - X, 3 4-ftV3 Vi Vj я

= - Я - йуХ - ДдЯ - Дз-

Таким образом, вопрос об отыскании оптимального управления сводится по существу к вопросу о разложении полинома степени 2п на два указанных выше множителя rf, (Я,) и (Я,). Как только многочлен rf, (к) становится известным, коэффициенты оптимального управления находятся сразу же из решения линейной системы алгебраических уравнений.

Проиллюстрируем изложенный метод, решив в линейном приближении задачу, сформулированную в примере § 108.

Пример 2. Отбрасывая нелинейные члены в уравнениях (108.4), получим систему первого приближения

=х„ -4=ах,+рхз + 6а, -а. (П3.15)

Ьа (а2 + а) - Р (Д1« + Дз) Д

6 (Дз-f ад,) - р (а2 + «)

V2= д ,

6Р (д2 + а)-рд,-

(113.17)

где Д = р2 аЯ

Учитывая, что о = -, р = ° , 6 = -, й =(см. § 108), о о о

имеем А = й (4 + ) ¥= О, то Д не обращается в нуль ии при о

каких Го и является конечным числом. Следовательно, задача об оптимальной стабилизации для нашего примера имеет решение при любых Го и

Заметим, кстати, что условие 1ф() совпадает с достаточным условием разрешимости задачи из теоремы 1 § 112. Это условие для нашего примера оказывается невыполненным, если с = 0, что соответствует выбросу массы

только в радиальном направлении. Можно показать, что в этом случае задача II в форме (113.15) - (113.16) решения не имеет.

В самом деле, если 0, = 0, то система уравнений (108.2) имеет первый

интеграл уз = гф = и = const, где постоянная и определяется начальными условиями, которым соответствует движение точки по исходной эллиптической орбите. В невозмущенном движении уз = )/piro (см. § 108). Вообще говоря, Yvfa ф к, так как Го по условиям задачи - произвольног число, связанное только предположением о достаточной близости эллиптической траектории к круговой орбите радиуса Го. Следовательно, в процессе управления Уз {t) должно меняться от величины к до величины Yvfa, но Уз изменяться вообще не может, так как при с = 0 в силу уравнений (108.2)

= О во все время переходного процесса. Таким образом, условие фО

является в рассмотренной задаче необходимым условием осуществления перехода точки с эллиптической траектории иа круговую орбиту заданного радиуса.

Заметим, что решение первого примера, рассмотренного в этом параграфе, можно также получить из формул (113.17), если принять а = р=1, й = 0, так как системы уравнений (113.5) и (113.15) в этом случае совпадают.

В заключение можно сказать, что оба изложенных способа решения задачи II об оптимальной стабилизации для линейных систем (112.1) при условии минимума показателя качества (112.2) процесса Xg{t) (s=l.....п) позволяют с успехом использовать современные

Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я, получаем систему линейных уравнений относительно Vj, Vj, V3:

- ftV2-Уз = Д„ - ftV, - = Д2 + «, -pVi-[-av3 = Дз-

Решая эту систему, находим коэффициенты оптимального управления:

вычислительные устройства). Однако второй метод, в отличие от первого, иногда может привести к решению задачи в замкнутой форме и для такого случая надобность в применении вычислительных машин отпадает. Но первый способ является более универсальным и он значительно проще по своей вычислительной схеме.

Отметим еще, что задаче о вычислении параметров оптимального управления посвящена интересная работа А. И. Лурье 2).

§ 114. Теоремы о стабилизации по первому приближению.

Мы переходим теперь к рассмотрению нелинейных уравнений

§=Л11+ ••• +PsnXn+4slUl+ +9,r«r +

+ Хг.....дг„; «1.....и,) (5=1.....п), (114.1)

описывающих возмущенные движения xit) управляемой системы в окрестности заданного движения дг=0. Будем предполагать, как обычно, что функции определены в области

>0, 1д;,<Я (5=1.....»), (114.2)

где они непрерывны и удовлетворяют неравенствам

Хг.....дг„; «1, . . ., «,)<

<Л{дг,+ ... +х„ + и,+ ... +й,}, (114.3)

причем А - некоторая постоянная.

Наряду с уравнениями (114.1) рассмотрим систему первого приближения

= PsiXi + • • • + PsnXn + 9.1«1 + • • • + 9,r«r (114.4) (5=1.....«).

При каких условиях возможность стабилизации системы (114.1) вытекает из решения проблемы в первом приближении? Исследование этого вопроса составляет предмет теории стабилизации системы (114.1) по линейному приближению. Мы ограничимся здесь лишь достаточными условиями, при которых ответ на заданный вопрос является положительным. Эти результаты являются следствием достаточных условий разрешимости задач II для системы (114.4) при условии мини-

) Стандартные программы для решения задач изложенными способами имеются, например, в вычислительном центре Уральского государственного университета.

) Лурье А. И., Минимальный квадратичный критерий качества регулируемой системы. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 4, 1933.