dt, (114.5)

данных в теоремах 1 и 2 § 112, и следствием общих теорем об асимптотической устойчивости по первому приближению, приведенных в §§ 22, 85.

Рассмотрим сначала случай установившегося невозмущенного движения л:;, = 0, когда величины pj и qj в уравнениях (114.1) являются постоянными и функции не зависят явно от времени. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Если ранг матрицы

W={q, pq.....P"-q} (114.6)

равен tl, то задача I о стабилизации системы (114.1) решается исходя из линейного tlpuблuжeнuя (114.4) при любом выборе функций Rg, удовлетворяющих неравенствам (114.3), если только постоянная А достаточно мала. Управляющие воздействия Uj(Xi.....х„) можно выбрать в форме линейных

функций

Uj (Xl.....дг„) = VijXi + ... + v„jx„, (114.7)

где Vij - постоянные.

Доказательство. Выберем как-нибудь определенно положительные квадратичные формы

2 O-ljXiXj И 2 f>ljUiUj

с постоянными а,у и р. Согласно теореме 1 § 112, если ранг W равен п, то для системы (114.4) можно решить задачу II об оптимальной стабилизации при условии минимума интеграла (114.5). При этом получатся оптимальные стабилизирующие воздействия (Xj, .. ., дг, описываемые линейными функциями

«5(1.....„) = v,yx,+ ••• +v„yX„. (114.8)

При Uj = uj(x.....х линейная система, описываемая уравнениями

=PslXl+ ... -{-PsnXn +

будет асимптотически устойчивой.

мума интеграла

Выберем для нелинейной системы (114.1) в качестве управляющих воздействий Uj величины «"(лр (114.8). Подставив и. = иЧ(х.....в уравнения (114.1), получим нелинейные уравнения возмущенного движения dXs i i

+ 9,i«?(I.....x,)+ ... .....„) + Ф.(-1.....

(114.10)

(5=1.....ft),

где функции

ФД1.....„)=.,(-i.....x;u\[x. .....tt(x,. .

вследствие (114.3) удовлетворяют неравенству

фЛ1.....«)<1

(5=1, ,

1+ ••• +\Хп\ П),

yli = yl(l+v), v = max у=1, г

.....„) (114.11)

(114.12)

Уравнения (114.9) составляют для системы уравнений (114.10) систему первого приближения. Характеристическое уравнение

РП + 2 7l;V,; -Я- ... S 9l;V„;

;=I j=l

= 0 (114.13)

асимптотически устойчивой системы (114.9) имеет все корни Я,, с отрицательными действительными частями. Отсюда по теореме 1 § 22 заключаем, что невозмущенпое движение х = 0 системы (114.10) при условии (114.12) асимптотически устойчиво, если только постоянная А достаточно мала. Тем самым теорема 1 полностью доказана.

Перейдем теперь к случаю неустановившегося невозмущенного движения х = 0, когда величины р и qj в уравнениях (114.4) предполагаются переменными функциями времени. Теорема о стабилизации по первому приближению в этом случае может быть сформулирована следующим образом.

Ф 1.....= ,2 2 (О sij it) j 1,1 J (114.14)

является определенно положительной, то задача I о стабилизации системы {\\4.\) решается исходя из линейного приближения (114.4) при любом выборе функций R, удовлетворяющих неравенствам (114.3), если только постоянная А достаточно мала. Управляющие воздействия Uj{t, х, .... х„) можно выбрать в форме линейных функций

Ujit. Xl.....х„) = у,у(Одг,+ ... +v„y(Ox„, (114.15)

где Vij{t) - непрерывные и ограниченные функции времени t.

Доказательство. Выберем как-нибудь определенно-положительные функции

2 o.ij{t)XiXj и 2 Рг;(0«/«у (114.16)

При условиях доказываемой теоремы выполняются предположения теоремы 2 § 112. Поэтому для системы (114.4) можно решить задачу II об оптимальной стабилизации при условии минимума интеграла (114.5). При этом получатся оптимальные стабилизирующие воздействия х х вида

1.....,)-jit)Xi+ ... +v„y(OAr„. (114.17)

где vy(О - ограниченные и непрерывные функции времени.

) Условие определенной положительности формы Ф {t, 1,.....!„) означает, что линейная независимость выбранных векторов да*) в известно!» смысле равномерна по <>-<о и углы между этими векторами не могут становиться произвольно малыми.

Теорема 2. Составим матрицу

W{t)\Li{t).....L„{t)],

Ц {t) = Q (О.....ift+i = - Р (О Ц (О

(ft=: 1.....ft - 1).

Пусть функции Pgiit) и qsj{t) имеют при tt равномерно непрерывные и ограниченные производные до (п - 1)-го порядка включительно. Если при каждом ft в матрице W(t) можно

выделить п линейно независимых векторов-столбцов w\t) (ft=l.....п) таких, что квадратичная форма)